Abstand 2 LE zur Ebenen Schar

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Ebenenschar E_a:  x - y + az=-3a.

_{1) Berechnen Sie diejenigen Werte für a, für die zugehörgen Ebenen der Schar zum Koordinatenursprucng den Abstand 2 LE besitzen}

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz ist man muss die Gleichung mit 2 LE gleichsetzten ?

Kann mir einer bitte sagen wie man das löst?

Answer 1

Bei einer Koordinatengleichung kann man mit einer relativ einfachen Formel den Abstand zum Ursprung ermitteln. Stichwort: Hessesche Normalenform. Aber vielleicht habt ihr die Formel auch einfach nur direkt hergeleitet. Man muss nur den Betrag der Zahl auf der rechten Seite der Gleichung durch die Länge des sich aus der Gleichung ergebenen Normalenvektors teilen. Wenn nur konkrete Zahlen in der Gleichung vorkommen, ergibt dies auch eine konkrete Zahl als Abstand. Bei deiner Aufgabe kannst du natürlich auch diese Formel benutzen, als "Ergebnis" erhältst du zunächst einen Term mit der Variablen a. Und um herauszufinden, für welche Werte von a dieser Term genau den Wert 2 hat, stellst du eine Gleichung auf ("gleichsetzen"). Wegen der Wurzel wirst du quadrieren müssen, es ergibt sich eine quadratische Gleichung für a.

Comments

Ich komme irgendwie nicht auf die Richtige Lösung

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Wie weit bist du denn? Wie lautet deine Gleichung, welche Lösungen hast du? Die exakten Lösungen sind Wurzeln aus einer rationalen Zahl, näherungsweise plus und minus 1,265.

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Ich habe das berechnet:

2=\( \frac{0-0+a*0+3a}{\sqrt{1^2+(-1)^2+a^2}} \)

Aber ich bekomme für a einen anderen Wert raus :/ Und selbst mit 1,265 stimmt die Probe nicht

Ich weiß halt auch nicht ob ich das richtig ausgelöst habe,  da ich nicht weiß wie das hier so geht  ?

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Die Probe stimmt nicht exakt, da es sich nur um eine Näherungslösung handelt. Dein Ansatz ist fast richtig, im Zähler müsste noch Betrag stehen. Der fällt dann beim Quadrieren aber ohnehin weg. Zusammenfassen, Quadrieren und Multiplikation mit dem Nenner liefert die Gleichung 4*(2+a²)=9a². Aber hier kommst du bestimmt allein weiter.

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Danke. Habe es jetzt hinbekommen...