Schreiben Sie das Polynom als Produkt von Linearfaktoren!

Question

Das Polynom p(x) =x^8+ 4x^7+ 5x^6+ 27x^2+ 108x+ 135 hat eine Nullstelle x1=−2−i. Schreiben Sie das Polynom als Produkt von Linearfaktoren!

Comments

Tipp: Wenn \(x_1=-2-\mathrm i\) eine Nullstelle von \(p\) ist, dann ist bekanntlich auch \(\bar x_1=-2+\mathrm i\) eine solche. Also ist \(p\) ohne Rest durch \(x^2+4x+5\) teilbar und es ist \(p(x)=(x^2+4x+5)\cdot(x^6+27)\).

Answer 1

Zunächst lässt sich das Polynom in vier quadratische Faktoren zerlegen:

(x²+3)(x²+3x+3)(x²-3x+3)(x²+4x+5). Jeder dieser Faktoren ist noch in zwei komplexe Linearfaktoren zerlegbar. z.B. x²+4x+5=(x+2+i)(x+2-i).