Linearfaktor Polynom. Minimales a, für welches p(x) in ein Produkt von Linearfaktoren aus Pol(R) zerlegt werden kann?

Question

Sei a€ R Parameter. Gegeben sei das Polynom p(x)= x^{3} -(a)/(8)x-(-1+(a)/(8)).

Berechnen Sie das minimale a, für welches p(x) in ein Produkt von Linearfaktoren aus  Pol(R) zerlegt werden kann.

a=?

Comments

"x³ -(a)/(8)x-(-1+(a)/(8))."

Soll der Term so aussehen?

$$ x^3 - \frac{a}{8}x -(-1 + \frac{a}{8}) $$

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Genau richtig

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Okay :-)
Zuerst wäre eine Nullstelle hilfreich  x³ -(a)/(8)x-(-1+(a)/(8)) = 0

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Und wie bekommt man die?

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Hier kann eine Nullstelle durch probieren bekommen.
Versuch mal mit x = 0, x = 1, x = -1, x = 2, x = -2 ... usw.

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x3−a8x−(−1+a8) denke x=-1

(-1)^{3}-a/8(-1)+1 -a/8=

-1 +1=0

Ah stimmt x=-1

Und wie weiter? :)

(

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x = -1 supie! :-)

Jetzt Linearfaktorzerlegung. Dafür gibt es doch ein Kochrezept, sozusagen.
Nennen wir die Nullstelle x₁ dann der Linearfaktor (x - x₁), also (x - x₁) = (x - (-1)) = (x+1).
Und dann geht es mit Polynomdivision weiter:
Ersmal würde ich aber x³ -(a)/(8)x-(-1+(a)/(8)) umformen zu x^3 - ax/8 - a/8 + 1
Und dann die Division ( x^3 - ax/8 - a/8 + 1 ) /  (x+1)

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Weiter komm ich leider nicht

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Sehe grad einen fehler

Mein ergebnis

x^{2}-x-a/8

Wie geht es weiter? ;)

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Mein Ergebnis ist x^2 - x  + 1 - a/8

Wie es weiter geht: Die nächste Nullstelle suchen! :-)
Und zwar die Nullstelle von x^2 - x  + 1 - a/8


Ich habe Dein Bild runtergeladen. Du hast dasselbe Ergebnis auf dem Bild wie ich. Ich habe aber keinen Rest, guck doch noch mal nach.

Wie es weiter geht: Die nächste Nullstelle suchen bzw. berechnen.

Die Nullstelle von x^2 - x  + 1 - a/8  mit minimalem a

Und jetzt erstmal gute Nacht !
:-)

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Dir auch Vielen Dank :)

Gute Nacht

Answer 1

x^3 - a/8·x - (-1 + a/8) = (x + 1)·(x^2 - x - a/8 + 1)

Dann darf die Diskriminante nicht negativ sein.

(-1)^2 - 4·1·(- a/8 + 1) ≥ 0 --> a ≥ 6

Comments

Also ist a=6 die Lösung

Darf ich das negative benützen?

Kannst du mir bitte noch mit den uneigentlichen Integral helfen?

Vielen Dank

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Ja du darfst a = 6 verwenden. das ist ja der kleinste Wert für a.

"Darf ich das negative benützen?"

Versteh ich nicht ???

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a=-6

Dürfte dann keine lösung sein?

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Welchen Wert hat die Diskriminante für a = -6 ?

Answer 2

Zugunsten der Lesbarkeit und einfacheren Rechnung formen wir den Term p(x)= x^3 -(a)/(8)x-(-1+(a)/(8))
um zu  p(x)= x^3 - a/8 x - a/8 + 1

Zwecks Linearfaktorzerlegung suchen wir die Nullstelle vom umgeformten Term.

x^3 - a/8 x - a/8 + 1 = 0

Durch probieren bekommen wir: x = -1
Daraus folgt der Linearfaktor (x + 1)

Wir reduzieren das Polynome x^3 - a/8 x - a/8 + 1 durch Polynomdivision:

(x^3 - a/8 x - a/8 + 1) / (x + 1) = x^2 - x -a/8 + 1

Es gilt also
(x^3 - a/8 x - a/8 + 1) = (x^2 - x -a/8 + 1)(x + 1)

Das Kochrezept der Linearfaktorzerlegung besagt, dass wir nun eine
weitere Nullstelle suchen bzw. berechnen müssen und zwar vom reduzierten Polynom x^2 - x - a/8 + 1.
Es ist x^2 - x -a/8 + 1 = x^2 - x + (1 - a/8)

Bei der Berechnung der Nullstelle stört uns das (noch) unbekannte a, das ja minimal sein soll.
Wir wenden trotz des unbekannten a direkt die PQ-Formel an mit p = -1 und q = (1 - a/8)
und bekommen x1,2 = 1/2 +- √( 1/4 - (1 - a/8))

Unter der Wurzel steht der Term 1/4 - (1 - a/8).
Im Reellen ist die Wurzel >= 0, also ist 1/4 - (1 - a/8) >= 0.
Nach a aufgelöst folgt a >= 6. Da wir das minimale a suchen, ist a = 6

Wir haben das minimale a = 6 gefunden und setzen es ein in x^2 - x -a/8 + 1 und bekommen
x^2 - x -6/8 + 1 das ist umgeformt x^2 - x + 1/4
Für x^2 - x + 1/4 = 0 ist x = 1/2 und wir haben endlich den letzten Linearfaktor (x - 1/2)^2.

Wir haben für p(x) = x^3 -(a)/(8)x-(-1+(a)/(8)) ein minimales a = 6 gefunden und bekommen nach dem
Einsetzen p(x) =  x^3 -(6)/(8)x-(-1+(6)/(8)) = x^3 - 3/4 x + 1/4.

Die berechneten Linearfaktoren sind (x + 1) und  (x - 1/2)^2. Die Probe ergibt
(x + 1) * (x - 1/2)^2 = x^3 - 3/4 x + 1/4

Jippiee :-)
Hoffentlich war das nicht zu viel Blabla :-D
n8i

Comments

Vielen Vielen Dank

Leide habe ich den Beste antwort

Verfrüht gegeben ^^

Beim nächsten gebe ih es dir schon im Voraus ^^

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"Leide habe ich den Beste antwort  Verfrüht gegeben ^^"

*grins*

Das ist in Ordnung!

ich habe vielleicht aufgrund meiner Erklärbärnatur  zu viel Blabla getextet. Der_Mathecoach
mag es lieber kurz und knackig. Außerdem musste ich erstmal nachgucken, wie das mit
der Linearfaktorzerlegung geht, weil ich es vergessen hatte :-D und das hat etwas gedauert,
bis ich dafür im Internet ein "Kochrezept" gefunden habe.

Wie auch immer ist doch die Hauptsache, dass Du die Lösung der Aufgabe verstehen lernst!  :-)

"Beim nächsten gebe ih es dir schon im Voraus ^^"

Hahaha! Nein, lieber nicht! :-)

Beste Grüße
gorgar

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Vielen Vielen Dank nochmal

Das hat mir aber sehr geholfen.

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Hab ich gern gemacht! :-)