Beweisen sie dass f eine konstante Funktion ist

Question

Sei f : (a, b) → R eine differenzierbare Funktion mit f′ (x) = 0 für alle  x ∈ (a, b), dann ist f eine konstante Funktion.

Comments

Hallo

 Widerspruchsbeweis mit Mittelwertsatz!

lul

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how can I do it

Answer 1

lul meint:

angenommen: f(x) nicht konstant

Dann gibt es 2 verschieden Funktionswerte f(c), f(d) in D.

Zwischen den beiden Punkten mit diesen Funktionswerten ist die Sekantensteigung [ f(d)-f(c) ]  / [ d-c]  ≠ 0.

Der MWS sagt, dass die Sekantensteigung für eine Zwischenstelle ξ ∈[c,d] Tangentensteigung ist, also ≠ 0.

Answer 2

how can I do it

Genau so wie lul es vorgeschlagen hat:

Angenommen f ist nicht konstant, dann existieren \( x_1 , x_2 \in (a,b) \) mit \( f(x_1) \neq f(x_2) \). Sei o.E. \( x_1 < x_2 \), dann existiert nach dem Mittelwertsatz ein \( x_0 \in (x_1,x_2) \subseteq (a,b) \) mit

$$ f'(x_0) = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} \neq 0 $$

Widerspruch.