I ist Primideal => I ist maximales Ideal

Question

Aufgabe:

R ist Hauptidealring

I ist Ideal von R mit I ≠ Nullideal.

zz: I Primideal => I maximales Ideal

Problem/Ansatz:

I ist Hauptideal => I = (a) mit a ∈ R

Sei b∈R aber b∉I

Angenommen I ist kein maximales Ideal, dann ist (a) + (b) ≠ R.

Sei r∈R bel. => r*a ∈ I

=> r*a + b = s ∈ R

=> ra = s - b = s + (-1) * b

=> s ∈ I und (-1)*b ∈ I

Da I Primideal ist, folgt (-1) ∈ I oder b ∈ I 

r = r * 1 = r * (-1) * (-1)  => r ∈ I

=> (a) + (b) = R da r beliebig war.

=> Widerspruch zur Annahme das (a) + (b) ≠ R

=> I ist maximales Ideal.

Ist das so richtig oder hab ich da irgendwo einen Fehler gemacht?

Answer 1

"Sei b∈R aber b∉I
Angenommen I ist kein maximales Ideal, dann ist (a) + (b) ≠ R."

Dies Argument funktioniert nicht, Betrachte etwa den Ringe der ganzen Zahlen:

a=4 und b=9.

Hier ein korrekter Beweis:

Sei $I=(a)$ ein Primideal. Dann gibt es ein maximales Ideal $M=(m)\neq R$

mit $(a)\subset (m)$. Es gibt also $r\in R$ mit $a=rm$, d.h. $rm\in (a)$.

Da $(a)$ Primideal ist, gilt: $m\in (a)\;\vee \;r\in (a)$.

Im ersten Fall ist $(m)\subset (a)$, also $(a)=(m)$, d.h. $(a)$ ist maximal.

Im zweiten Fall gibt es $s\in R$ mit $r=as$.

Es folgt: $a=rm=asm\Rightarrow sm=1$, also $1\in (m)$, Widerspruch!