Aussagen über C wahr?

Question

Mir fehlt der Ansatz wie ich die Aussagen beweisen soll, würde mich sehr über Tipps freuen.

a) \( z * \bar{z}=|z|^{2} \)

b) \( z^{-1}=\frac{\bar{z}}{|z|^{2}} \) für \( z \neq 0 \)

c) \( \operatorname{Re}(z) \leq|z| \) und \( \operatorname{Im}(z) \leq|z| \)

d) \( |z| \epsilon R \) und \( |z| \geq 0 \), sowie \( |z|=0 \Longleftrightarrow z=0 \)

e) \( \left|z_{l} * z_{2}\right|=\left|z_{l}\right| *\left|z_{2}\right| \)

Answer 1

Ich würde sagen die Aussagen sind wahr. Da ich aber selber aber nur angeeignetes Wissen im Bereich der komplexen Zahlen habe bitte würde ich sagen du solltest meine Aussagen bitte genau auf Fehler prüfen.

1. z·z* = |z|^2
2. z^(-1) = z* / |z|^2 für z ≠ 0
3. Re(z) ≤ |z| und Im(z) ≤ |z|
4. |z| ∈ R und |z| ≥ 0, sowie |z| = 0 ⇔ z = 0
5. |z1·z2| = |z1|·|z2|


Lösungen:

1. z·z* = |z|^2
(a + b·i)·(a - b·i) = a^2 + b^2

a^2 + b^2 = a^2 + b^2
wahr

2. z^(-1) = z* / |z|^2 für z ≠ 0
a/(a^2 + b^2) - b/(a^2 + b^2)·i = (a - b·i)/(a^2 + b^2)
(a - b·i)/(a^2 + b^2) = (a - b·i)/(a^2 + b^2)
wahr

3. Re(z) ≤ |z| und Im(z) ≤ |z|
a ≤ √(a^2 + b^2) und b ≤ √(a^2 + b^2)
wahr

4. |z| ∈ R und |z| ≥ 0, sowie |z| = 0 ⇔ z = 0
√(a^2 + b^2) ∈ R wahr
√(a^2 + b^2) ≥ 0 wahr
√(a^2 + b^2) = 0 ⇔ z = 0 wahr

5. |z1·z2| = |z1|·|z2|
|(a + b·i)·(c + d·i)| = √(a^2 + b^2)·√(c^2 + d^2)
|(a·c - b·d) + (a·d + b·c)·i| = √((a^2 + b^2)·(c^2 + d^2))
√((a·c - b·d)^2 + (a·d + b·c)^2) = √(a^2·c^2 + a^2·d^2 + b^2·c^2 + b^2·d^2)
√(a^2·c^2 + a^2·d^2 + b^2·c^2 + b^2·d^2) = √(a^2·c^2 + a^2·d^2 + b^2·c^2 + b^2·d^2)
wahr

https://docs.google.com/document/d/1AUhyg73YMY3xZianOFnnqhZ-fFjAbNFUU6nDiigQhok/pub