Aloha :)
Ich würde mir gar nicht mehr Arbeit machen als nötig ist. Die Anfangsbedingungen sind für \(x=0\) gegeben, also ist die Näherungslösung bei \(x=0\) interessant. Das heißt, du brauchst ein Taylor-Polynom der Form:$$y(x)=y(0)+y'(0)\,x+\frac{y''(0)}{2}\,x^2+\frac{y'''(0)}{3!}\,x^3+\frac{y''''(0)}{4!}\,x^4$$Die Anfangsbedingungen liefern dir schon$$y(0)=-1\quad;\quad y'(0)=1$$Aus der Differentialgleichung und ihren Ableitungen bekommst du die übrigen Ableitungen:$$y''=x+y-y^2\;\;\Rightarrow\;\;y''(0)=0+(-1)-(-1)^2=-2$$$$y'''=(x+y-y^2)'=1+y'-2yy'\;\;\Rightarrow\;\;y'''(0)=1+1-2(-1)1=4$$$$y''''=(1+y'-2yy')'=y''-2(y'y'+yy'')\;\;\Rightarrow\;\;y''''(0)=-2-2(1+2)=-8$$Das führt auf die Näherungslösung:$$y(x)=-1+x-x^2+\frac{2}{3}x^3-\frac{1}{3}x^4$$
