Rechenregeln, Logarithmische Ableitung : L(exp(f(x))) = f'(x)

Question

Aufgabe:

Für eine auf U differenzierbare Funktion f : U −→ R ohne Nullstellen nennen wir
L(f) := f/f' die logarithmische Ableitung von f.
Zeige die folgenden Rechenregeln für die logarithmische Ableitung: 

(a) L(f1 · . . . · fn) = L(f1) + . . . + L(fn).
(b) L(f/g)= L(f) − L(g).
(c) L(exp(f(x)))= f'(x)

Problem/Ansatz:

Die a.) und b.) habe ich bereits gelöst. Dennoch habe ich ziemliche Schwierigkeiten bei der c. Ich habe schon probiert, die Funktion umzuschreiben also:

log(e^f(x)) = f'(x)

oder bei Wolfram Alpha stand:

d/dx log(exp(f(x)) = f'(x)

Jedoch komme ich mit den Ansätzen nicht weiter

Answer 1

Meistens wird der Kehrwert von deiner Definition genommen.

s. auch https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmische_Ableitung

Dann wäre es so L(exp(f(x))) = exp(f(x)) '  /   (exp(f(x)))

                   =  (exp(f(x))) * f ' (x) )  /   exp(f(x))      (wegen   Kettenregel  )

                         = (  exp(f(x))  /   (exp(f(x)))   ) *   f ' (x)

                        =   1            *   f ' (x)

                       =   f ' (x) .