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Aufgabe:

Wir betrachten die lineare Abbildung LA : R3R3,vAv \mathcal{L}_{A}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, v \mapsto A v mit

A=(112103aa1a),aR A=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {1} & {2} \\ {1} & {0} & {3} \\ {a} & {a} & {1-a} \end{array}\right), a \in \mathbb{R}

Bestimmen Sie in Abhängigkeit vom Parameter a a eine Basis vom Bild( LA \mathcal{L}_{A} ).

Entscheiden Sie mit Begründung und in Abhängigkeit von a a , ob die Abbildung LA \mathcal{L}_{A} injektiv ist. Geben Sie eine Basis vom Kern( LA \mathcal{L}_{A} ) an, falls dim(Kern(LA))>0 \operatorname{dim}\left(\mathrm{Kern}\left(\mathcal{L}_{A}\right)\right)>0

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Titel: lineare Abbildung. Basis bestimmen.

Stichworte: basis,lineare-abbildung,kern

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(1) Wir betrachten die lineare Abbildung LA : R3R3,vAv \mathcal{L}_{A}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, v \mapsto A v mit
A=(112103aa1a),aR A=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {1} & {2} \\ {1} & {0} & {3} \\ {a} & {a} & {1-a} \end{array}\right), a \in \mathbb{R}
Bestimmen Sie in Abhängigkeit vom Parameter a eine Basis vom Bild( LA \mathcal{L}_{A} ). Entscheiden Sie mit Begründung und in Abhängigkeit von a ob die Abbildung LA \mathcal{L}_{A} injektiv ist. Geben Sie eine Basis vom Kern( LA \mathcal{L}_{A} ) an, falls dim(Kern(LA))>0 \operatorname{dim}\left(\mathrm{Kern}\left(\mathcal{L}_{A}\right)\right)>0

Brauche Hilfe bei dieser Aufgabe. Kann mir jemand helfen sie zu lösen?

2 Antworten

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Es ist det(A) = 3a-1 .

Also ist für a ≠1/3 jedenfalls rang=3

==>  Die drei Spalten von A bilden eine

Basis von Bild( LA) .

Und es ist dim ( Kern (LA)) = 0 , also LA Injektiv.

a=1/3:

Bild(LA) ist dann 2-dimensional, also bilden die ersten beiden

Spalten von A ( die sind lin. unabh.) eine Basis von Bild(LA).

In dem Fall ist dim ( Kern (LA)) = 1 > 0 und Gauss liefert

1   1    2
0   1    -1
0   0     0

also sind die Elemente im Kern welche mit v3=t

v2 - t = 0  ==>   v2 = t

v1 + t + 2t = 0 ==>  v1 = 3t

also v=(3t;t;t)T = t* (3;1;1)T

==>    (3;1;1)T  ist eine Basis für den Kern.

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Hallo

1. wenn dim(Kern)=0 ist dim(Bild)=3 und du kannst die Standardbasis nehmen. also bestimme erst die a für die dim(Kern)=0

dann dim(Kern)=1 für welche a? einfach A*x=0 lösen (Gauss), dann Bild für diese a bestimmen.. z.B indem du die Bilder der Standardeinheitsvektoren bestimmst.

Gruß lul

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