Anfangswertproblem: Zeigen, dass eine stetig diff'bare Funktion existiert, so dass ...

Question

Es seien \(a,b,c,d\in \mathbb{R}\), \(a<b\) und \(c<d\). Betrachten Sie zwei stetige Funktionen \(f: (a,b) \to \mathbb{R}\), \(g : (c,d)\to \mathbb{R}\), wobei \(g(y)\neq 0\) sei für \(y\in (c,d)\).

 Zeigen Sie, dass für alle \(x_0\in (a,b)\) und \(y_0\in (c,d)\) eine offene Umgebung  \(U\) von \(x_0\) und eine stetige differenzierbare Funktion \(\varphi : U\to \mathbb{R}\)  exisitiert, so dass \(y_0=\varphi (x_0)\) und$$ \int_{x_0}^{x}f(t) \, dt=\int_{y_0}^{y}g(t) \, dt  \, \text{ für } \,  y=\varphi (x), x\in U$$

Ich möchte im Folgenden zeigen, dass man den Satz über die implizite Funktion anwenden kann, dafür repräsentieren \(F\) und \(G\) eine beliebige Stammfunktion von \(f\) und \(g\). Ich weiß allerdings nicht genau, wie ich zeigen, dass $$F(x)-G(y)=F(x_0)-G(y_0)$$ in \(y\) lokal auflösbar ist. Ich bin auch, um ehrlich zu sein, noch nicht ganz warm mit dem Satz über implizte Funktionen geworden.

Answer 1

Definiere \( F(x,y)=\int_{x_0}^x f(t) dt - \int_{y_0}^y g(t) dt\) für \( (x,y) \in (a,b)\times (c,d)\).
Dann ist zu begründen:
1) F ist stetig differenzierbar (Fundamentalsatz der Integralrechnung)
2) Die Matrix \(\frac{\partial F}{\partial y}|_{(x_0,y_0)}\) ist invertierbar. (siehe Voraussetzung an g).

Der Satz über implizite Funktionen schenkt dann die gesuchte stetig differenzierbare Funktion \( \phi:U \to \mathbb{R}\).