Wann ist der Kaffee auf 65 ° abgekühlt? T(t) = 21+74*10^{-0.04t}

Question

T(t) = 21+74*10^{-0.04t}

t = Zeit in Minuten

T= Tempratur

b) skizziere den Graphen

c) wann ist der Kaffee auf 65 ° abgekühlt ( die Funktion ist das gesetz wie Kaffee abkühlt)

Answer 1

zu c)

Setze den Funktionsterm gleich der gewünschten Temperatur und löse nach t auf:

21 + 72 * 10 ^{-0,04 t} = 65

<=> 72 * 10 ^{-0,04 t} = 44

<=> 10 ^{-0,04 t} = 44 / 72

<=> - 0,04 t = log ( 44 / 72 )

<=> t = log ( 44 / 72 ) / - 0,04 = 5,35 (gerundet)

Also, bei einer Umgebungstemperatur von 21 ° C kühlt der Kaffee innerhalb von etwa 5,35 Minuten von ursprünglich 93° auf 65° ab.

 

Wenn man unbedingt will, kann man natürlich auch zunächst die Umkehrfunktion t ( T )  bilden:

T ( t ) = 21 + 74 * 10 ^{- 0,04 t}

<=> ( T ( t ) - 21 ) / 74 = 10 ^{- 0,04 t}

<=> log ( ( T ( t ) - 21 ) / 74 ) = - 0,04 t

<=> t = log ( ( T ( t ) - 21 ) / 74 ) / - 0,04

und nun für T ( t ) die gewünschte Temperatur ( 65°C ) einsetzen:

t = log ( ( 65 - 21 ) / 74 ) / - 0,04 = 5,35

Comments

Da haste a weng geschielt.

Es ist 74 und nicht 72 der Vorfaktor ;).


Grüßle

---

Stimmt, danke für den Hinweis. Ich korrigiere:

21 + 74 * 10 ^{-0,04 t} = 65

<=> 74 * 10 ^{-0,04 t} = 44

<=> 10 ^{-0,04 t} = 44 / 74

<=> - 0,04 t = log ( 44 / 74 )

<=> t = log ( 44 / 74 ) / - 0,04 = 5,64 (gerundet)

Also, bei einer Umgebungstemperatur von 21°C kühlt der Kaffee innerhalb von etwa 5,64 Minuten von ursprünglich 95°C auf 65°C ab.

Answer 2

Hi,

ich bin etwas durch die Überschrift verwirrt. Die Anwendung der Umkehrfunktion kann ich nicht erkennen.

b)

 

c)

T(t) = 21+74*10^{-0.04t} = 65   |-21

44 = 74*10^{-0,04t}      |:74

44/74 = 10^{-0,04t}       |lg

lg(44/74) = -0,04t          |:(-0,04)

t = lg(44/74)/(-0,04) ≈ 5,64

 

Nach etwa 5,64 min ist der Kaffee auf 65°C abgekühlt.

Grüße

Comments

In der Aufgabenstellung steht : Gesucht ist die umkehrfunktion von T

---

Die berechnet sich wie folgt:

y = T(t) = 21+74*10^-0.04t

Austauschen von t und y

t = 21+74*10^-0.04y   |-21

t-21 = 74*10^{-0,04y}

(t-21)/74 = 10^{-0,04y} |lg

lg((t-21)/74) = -0,04y    |:(-0,04)

y = -lg((t-21)/74)/0,04