Folgen sehen - Erklärung? Spiralen mit Quadratzahlen in den Ecken.

Question

Spiralförmiges Ansetzen ven Quadraten

Wir erkennen nun in den Spiralecken links oben die Folge der Quadrate der geraden Zahlen
und rechts unten die ungeraden Quadratzahlen. Die Zahlen in den Ecken rechts oben und links unten sind das geometrische Mittel der beiden benachbarten Quadratzahlen. So ist zum Beispiel \( 42=\sqrt{36 * 49}=6 * 7 \). Diese Zahlen sind also von der Form \( a_{n}=n(n+1) \).

Wenn wir statt nur einer Spirale vier gleiche Spiralen ansehen, welche simultan nach außen laufen, ergeben sich ausschließlich Quadratzahlen in den Ecken. Warum ist das so?

Abb. 12: Vier Spiralen

Ansatz/Problem:

Warum sind ausschließlich Quadratzahlen in den Ecken? Und wie ist die Erklärung für die Zeichnung weiter unten, bei der sich 4 Spiralen umeinanderdrehen?

Comments

Sind in einem Quadrat alle Felder mit einer natürlichen Zahl versehen, so enthält es n^2 Zahlen. Nun wird das Quadrat von Innen her gefüllt, da sollte immer, wenn ein Quadrat fertig ist, eine Quadratzahl in der Ecke stehen. Da nun die Spirale mit 0 beginnt, treten die Quadratzahlen immer direkt nach dem Austritt aus dem inneren Quadrat auf und das ist die Ecke für die nächste Runde.

Genügt das bereits, um mit den andern Spiralen klar zu kommen?

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Super - schon mal vielen Dank. (!!!) Dazu noch einmal ein paar Fragen: warum sind in der Diagonale nach links oben (von der Mitte aus) nur gerade Quadratzahlen und gegenüber (also von der Mitte nach rechts unten) nur ungerade Quadratzahlen? Gibt es dafür eine Erklärung? Und wie ist das untere Bild, bei dem 4 Spiralen umeinander laufen zu verstehen?