Lineare Abbildungen /Kanonische Basis

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die lineare Abbildung
$$ \mathcal{L}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \quad v=\left(\begin{array}{l} {v_{1}} \\ {v_{2}} \\ {v_{3}} \end{array}\right) \mapsto \mathcal{L}(v)=\left(\begin{array}{c} {v_{2}-2 v_{3}} \\ {2 v_{1}-v_{2}+4 v_{3}} \\ {v_{1}-v_{2}+3 v_{3}} \end{array}\right) $$

(a) Geben Sie die darstellende Matrix \( M_{\mathcal{E}}^{\mathcal{E}}(\mathcal{L}) \) von \( \mathcal{L} \) bezüglich der kanonischen \( \mathcal{E} \) Basis des \( \mathbb{R}^{3} \) an.

(b) \( \mathcal{B}=\left(b_{1}=\left(\begin{array}{c}{1} \\ {1} \\ {0}\end{array}\right), b_{2}=\left(\begin{array}{c}{-2} \\ {0} \\ {1}\end{array}\right), b_{3}=\left(\begin{array}{c}{-1} \\ {2} \\ {1}\end{array}\right)\right) \) ist ebenfalls eine Basis des \( \mathbb{R}^{3} . \) Bestimmen Sie die Basis-
wechselmatrizen von der Basis \( \mathcal{B} \) zur Basis \( \mathcal{E} \) und umgekehrt.

(c) Bestimmen Sie die darstellende Matrix \( M_{B}^{B}(\mathcal{L}) \) von \( \mathcal{L} \) bezüglich der Basis \( \mathcal{B} \).

(d) Bestimmen Sie eine Basis des Bildes sowie eine Basis des Kerns von \( \mathcal{L} \)

Problem/Ansatz:

Kann mir jmd. weiterhelfen, wie man diese Aufgaben löst?

Comments

Meinst du vielleicht kanonische Basis? Was genau ist "katonische Basis"?

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Von Version 2 Tage später:

Titel: Wie ist die richtige Schreibweise bezüglich der kanonischen Basis?

Stichworte: basiswechsel,matrix,darstellungsmatrix,schreibweise

Text erkannt:

Gegeben sei die lineare Abbildung
$$ \mathcal{L}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \quad v=\left(\begin{array}{l} {v_{1}} \\ {v_{2}} \\ {v_{3}} \end{array}\right) \rightarrow \mathcal{L}(v)=\left(\begin{array}{c} {v_{2}-2 v_{3}} \\ {2 v_{1}-v_{2}+4 v_{3}} \\ {v_{1}-v_{2}+3 v_{3}} \end{array}\right) $$
(a) Geben Sie die darstellende Matrix \( M_{\mathcal{E}}^{\mathcal{E}}(\mathcal{L}) \) von \( \mathcal{L} \) bezüglich der kanonischen \( \mathcal{E} \) Basis des \( \mathbb{R}^{3} \) an.

Wie ist die richtige Schreibweise zur (a)? Ist es so :

0 1 - 2

2 - 1 4

1 - 1 3

Oder so...

0   2   1

1 - 1 - 1

-2   4   3

In der Aufgabe steht bezüglich der katonische Basis E.. In den Aufgaben davor haben wir gesagt dass E = e1=(100) e2=(010), e3=(001) ... Aber wir haben hier (v1 v2 v3) .... Welche schreibweise ist hier

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Aloha :)

Guckst du hier...

https://www.mathelounge.de/693956/lineare-abbildungen-kanonische-basis

Answer 1

Aloha :)

zu a)$$\vec v\to\left(\begin{array}{c}v_2-2v_3\\2v_1-v_2+4v_3 \\v_1-v_2+3 v_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\2\\1\end{array}\right)v_1+\left(\begin{array}{c}1\\-1\\-1\end{array}\right)v_2+\left(\begin{array}{c}-2\\4\\3\end{array}\right)v_3$$$$\vec v\to {_E}M_E\cdot\vec v\quad;\quad {_E}M_E:=\left(\begin{array}{c}0 & 1 & -2\\2 & -1 & 4\\1 & -1 &3\end{array}\right)$$

zu b)

Die Basiswechselmatrix \({_E}id_B\) bekommst du, wenn du die Basisvektoren von \(B\) als Spalten in eine Matrix einträgst:$${_E}id_B=\left(\begin{array}{c}1 & -2 & -1\\1 & 0 & 2\\0 & 1 & 1\end{array}\right)$$$${_B}id_E=\left({_E}id_B\right)^{-1}=\left(\begin{array}{c}1 & -2 & -1\\1 & 0 & 2\\0 & 1 & 1\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{c}2 & -1 & 4\\1 & -1 & 3\\-1 & 1 & -2\end{array}\right)$$

zu c)$${_B}M_B={_B}id_E\cdot {_E}M_E\cdot{_E}id_B$$$$\phantom{{_B}M_B}=\left(\begin{array}{c}2 & -1 & 4\\1 & -1 & 3\\-1 & 1 & -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0 & 1 & -2\\2 & -1 & 4\\1 & -1 &3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1 & -2 & -1\\1 & 0 & 2\\0 & 1 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0\end{array}\right)$$

zu d)

Eine Basis des Bildes und eine Basis des Kerns lassen sich direkt aus \({_B}M_B\) ablesen. Alle Vielfache von \(\vec b_1\) und \(\vec b_2\) ergeben das Bild, alle Vielfachen von \(\vec b_3\) werden auf \(\vec 0\) abgebildet.$$\text{Bild}(L)=\left(\vec b_1,\vec b_2\right)\quad;\quad\text{Kern}(L)=\left(\vec b_3\right)$$

Comments

Ahh vielen Dank .. Ich habe es soweit  verstanden ..Ich habe versucht die (b) nachzurechen.. Aber ich komme durch die Inverse ncibt auf das Ergebnis.. Kannst du mir bitte die einzelnen Schritte zeigen. (Inverse)

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Du machst mir aber ganz schön Arbeit ;)

Schreibe die zu invertierende Matrix auf und daneben eine Einheitsmatrix. Dann bringst du die Matrix durch elementare Umformungen auf die Form der Einheitsmatrix und führst dieselben Schritte auch an der Einheitsmatrix durch. Am Ende ist dann aus der vormaligen Einheitsmatrix die Inverse geworten.

$$\left(\begin{array}{c}1 & -2 & -1\\1 & 0 & 2\\0 & 1 & 1\end{array}\right)\quad\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right)\quad\begin{array}{c}{}\\{-Z_1}\\{}\end{array}$$$$\left(\begin{array}{c}1 & -2 & -1\\0 & 2 & 3\\0 & 1 & 1\end{array}\right)\quad\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 0\\-1 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right)\quad\begin{array}{c}{+Z_2}\\{}\\{-\frac{1}{2}\,Z_2}\end{array}$$$$\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 2\\0 & 2 & 3\\0 & 0 & -\frac{1}{2}\end{array}\right)\quad\left(\begin{array}{c}0 & 1 & 0\\-1 & 1 & 0\\\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 1\end{array}\right)\quad\begin{array}{c}{}\\{:2}\\{\cdot(-2)}\end{array}$$$$\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 2\\0 & 1 & \frac{3}{2}\\0 & 0 & 1\end{array}\right)\quad\left(\begin{array}{c}0 & 1 & 0\\-\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\-1 & 1 & -2\end{array}\right)\quad\begin{array}{c}{-2Z_3}\\{-\frac{3}{2}\,Z_3}\\{}\end{array}$$$$\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right)\quad\left(\begin{array}{c}2 & -1 & 4\\1 & -1 & 3\\-1 & 1 & -2\end{array}\right)\quad\begin{array}{c}{}\\{}\\{}\end{array}$$

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Ahh danke..Vielen Dank .. Jetzt habe ich es auch verstanden..

Answer 2

Die erste Version ist die richtige; denn die e's sind ja vermutlich

als Spalten aufgeschrieben.

Comments

Es scheint zwei Versionen der Frage zu geben (?).

"Duplikat und Original" oder zwei Fragen?