L'Hospital mit Verkettung im ln Aufgabe: x * ln(x+1/x-1)

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie den Grenzwert:
$$\lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(x · \ln \left(\frac{x+1}{x-1}\right)\right)$$

Problem/Ansatz:

Ich habe zwei Ansätze: bei dem ersten bin mit nicht sicher, ob ich im letzten Schritt (x²-1) im Nenner

so ableiten kann, wie ich es getan habe. Bei dem zweiten bin ich auf keine Lösung gekommen. Dort habe ich mit der Kettenregel den Term (x²-1) im Nenner abgeleitet.

1.:

Text erkannt:

$\lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(x \cdot \ln \left(\frac{x+1}{x-1}\right)\right)$
$$\frac{\ln \left(\frac{x+1}{x-1}\right)}{\frac{1}{x}}=\frac{\ln (x+1)-\ln (x-1)}{\frac{1}{x}}$$
$\frac{\operatorname{Li} \frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-1}}{\frac{-1}{x^{2}}}=\frac{\frac{x-1}{(x+1)(x-1)}-\frac{x+1}{(x+1)(x-1)}}{\frac{-1}{x^{2}}}-1 x^{-2}$
$=\frac{x-1-x-1}{\frac{x^{2}-1}{\frac{-1}{x^{2}}}}=\frac{-2}{\frac{-1}{x^{2}}}$
$=\frac{-2 \cdot x^{-2}-1}{-1 \cdot x^{-2}} \stackrel{L^{\prime} H}{=} \frac{-2 \cdot-2 x^{-3}}{-1 \cdot-2 x^{-3}}=\frac{-2}{-1}=2$

2.:

Text erkannt:

$\lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(x \cdot \ln \left(\frac{x+1}{x-1}\right)\right)$
$\frac{\ln \left(\frac{x+1}{x-1}\right)}{\frac{1}{x}}=\frac{\ln (x+1)-\ln (x-1)}{\frac{1}{x}}$
$=\frac{\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-1}}{\frac{-1}{x^{2}}}$
$=\frac{(x-1)}{(x+1)(x-1)}-\left|\frac{(x+1)}{(x+1)(x-1)}\right|=\frac{x-1-x-1}{\frac{(x+1)(x-1)}{\frac{-1}{x^{2}}}}$
$=\frac{\frac{-2}{x^{2}-1}}{\frac{-1}{x^{2}}}$
$=\frac{-2 \cdot\left(x^{2}-1\right)^{-2} \cdot 2 x}{3 x^{-3}}$
$\frac{=-2 \cdot 2 x}{\frac{x^{4}-2 x^{2}+1}{\frac{3}{x^{3}}}}$

Answer 1

Hallo

 dein erstes Blatt ist eigentlich richtig, nur verstehe ich nicht, warum du nach der vorletzten Zeile nicht zu 2x²/(x²-1) umformst indem du den Doppelbruch entfernst oder mit x² erweiterst.

Gruß lul

Comments

Ich wusste nicht, dass ich den Doppelbruch bei so einer Aufgabe auflösen kann, vielen Dank!

Answer 2

Hallo,

meine Berechnung (extra ausführlich)

Comments

Vielen Dank!!!!!!!!

Answer 3

Aloha :)

Du hast dich bei der Umformung am Anfang der letzten Zeile (mit dem ausgegrauten Quadrat über dem Gleichheitszeichen) vertan. Ich würde wie folgt umformen:

$$\lim\limits_{x\to\infty}\left[x\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)\right]=\lim\limits_{x\to\infty}\left[\frac{\ln\left(1+\frac{2}{x-1}\right)}{\frac{1}{x}}\right]\stackrel{L'Hosp.}{=}\lim\limits_{x\to\infty}\left[\frac{\frac{1}{1+\frac{2}{x-1}}\cdot\frac{-2}{(x-1)^2}}{-\frac{1}{x^2}}\right]$$$$=\lim\limits_{x\to\infty}\left[\frac{\frac{-2}{(x-1)^2+2(x-1)}}{-\frac{1}{x^2}}\right]=\lim\limits_{x\to\infty}\left[\frac{2x^2}{(x-1)^2+2(x-1)+1-1}\right]$$$$=\lim\limits_{x\to\infty}\left[\frac{2x^2}{\left[(x-1)+1\right]^2-1}\right]=\lim\limits_{x\to\infty}\left[\frac{2x^2}{x^2-1}\right]=2\cdot\lim\limits_{x\to\infty}\left[1+\frac{1}{x^2-1}\right]=2$$

Comments

(etwas spät, ich weiß :D)

Kannst du mir erklären was du bei dem vorletzten Gleichzeichen getan hast? Ich verstehe diese Umformung nicht.

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Ja, gerne... ich habe eine sog. "nahrhafte Null" addiert:$$\frac{2x^2}{x^2-1}=2\cdot\frac{x^2}{x^2-1}=2\cdot\frac{x^2\,\overbrace{-1+1}^{=0}}{x^2-1}$$$$=2\left(\frac{x^2-1}{x^2-1}+\frac{1}{x^2-1}\right)=2\left(1+\frac{1}{x^2-1}\right)$$

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Du bist ein Genie, danke! :DD