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Aufgabe:

Berechnen Sie den Grenzwert:
limx(x · ln(x+1x1)) \lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(x · \ln \left(\frac{x+1}{x-1}\right)\right)


Problem/Ansatz:

Ich habe zwei Ansätze: bei dem ersten bin mit nicht sicher, ob ich im letzten Schritt (x2-1) im Nenner

so ableiten kann, wie ich es getan habe. Bei dem zweiten bin ich auf keine Lösung gekommen. Dort habe ich mit der Kettenregel den Term (x2-1) im Nenner abgeleitet.


1.:

IMG-3309.jpg

Text erkannt:

limx(xln(x+1x1)) \lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(x \cdot \ln \left(\frac{x+1}{x-1}\right)\right)
ln(x+1x1)1x=ln(x+1)ln(x1)1x \frac{\ln \left(\frac{x+1}{x-1}\right)}{\frac{1}{x}}=\frac{\ln (x+1)-\ln (x-1)}{\frac{1}{x}}
Li1x+11x11x2=x1(x+1)(x1)x+1(x+1)(x1)1x21x2 \frac{\operatorname{Li} \frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-1}}{\frac{-1}{x^{2}}}=\frac{\frac{x-1}{(x+1)(x-1)}-\frac{x+1}{(x+1)(x-1)}}{\frac{-1}{x^{2}}}-1 x^{-2}
=x1x1x211x2=21x2 =\frac{x-1-x-1}{\frac{x^{2}-1}{\frac{-1}{x^{2}}}}=\frac{-2}{\frac{-1}{x^{2}}}
=2x211x2=LH22x312x3=21=2 =\frac{-2 \cdot x^{-2}-1}{-1 \cdot x^{-2}} \stackrel{L^{\prime} H}{=} \frac{-2 \cdot-2 x^{-3}}{-1 \cdot-2 x^{-3}}=\frac{-2}{-1}=2

2.:IMG-3311.jpg

Text erkannt:

limx(xln(x+1x1)) \lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(x \cdot \ln \left(\frac{x+1}{x-1}\right)\right)
ln(x+1x1)1x=ln(x+1)ln(x1)1x \frac{\ln \left(\frac{x+1}{x-1}\right)}{\frac{1}{x}}=\frac{\ln (x+1)-\ln (x-1)}{\frac{1}{x}}
=1x+11x11x2 =\frac{\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-1}}{\frac{-1}{x^{2}}}
=(x1)(x+1)(x1)(x+1)(x+1)(x1)=x1x1(x+1)(x1)1x2 =\frac{(x-1)}{(x+1)(x-1)}-\left|\frac{(x+1)}{(x+1)(x-1)}\right|=\frac{x-1-x-1}{\frac{(x+1)(x-1)}{\frac{-1}{x^{2}}}}
=2x211x2 =\frac{\frac{-2}{x^{2}-1}}{\frac{-1}{x^{2}}}
=2(x21)22x3x3 =\frac{-2 \cdot\left(x^{2}-1\right)^{-2} \cdot 2 x}{3 x^{-3}}
=22xx42x2+13x3 \frac{=-2 \cdot 2 x}{\frac{x^{4}-2 x^{2}+1}{\frac{3}{x^{3}}}}

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Hallo

 dein erstes Blatt ist eigentlich richtig, nur verstehe ich nicht, warum du nach der vorletzten Zeile nicht zu 2x2/(x2-1) umformst indem du den Doppelbruch entfernst oder mit x2 erweiterst.

Gruß lul

Avatar von 108 k 🚀

Ich wusste nicht, dass ich den Doppelbruch bei so einer Aufgabe auflösen kann, vielen Dank!

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Hallo,

meine Berechnung (extra ausführlich)

H30.png

Avatar von 121 k 🚀

Vielen Dank!!!!!!!!

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Aloha :)

Du hast dich bei der Umformung am Anfang der letzten Zeile (mit dem ausgegrauten Quadrat über dem Gleichheitszeichen) vertan. Ich würde wie folgt umformen:

limx[xln(x+1x1)]=limx[ln(1+2x1)1x]=LHosp.limx[11+2x12(x1)21x2]\lim\limits_{x\to\infty}\left[x\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)\right]=\lim\limits_{x\to\infty}\left[\frac{\ln\left(1+\frac{2}{x-1}\right)}{\frac{1}{x}}\right]\stackrel{L'Hosp.}{=}\lim\limits_{x\to\infty}\left[\frac{\frac{1}{1+\frac{2}{x-1}}\cdot\frac{-2}{(x-1)^2}}{-\frac{1}{x^2}}\right]=limx[2(x1)2+2(x1)1x2]=limx[2x2(x1)2+2(x1)+11]=\lim\limits_{x\to\infty}\left[\frac{\frac{-2}{(x-1)^2+2(x-1)}}{-\frac{1}{x^2}}\right]=\lim\limits_{x\to\infty}\left[\frac{2x^2}{(x-1)^2+2(x-1)+1-1}\right]=limx[2x2[(x1)+1]21]=limx[2x2x21]=2limx[1+1x21]=2=\lim\limits_{x\to\infty}\left[\frac{2x^2}{\left[(x-1)+1\right]^2-1}\right]=\lim\limits_{x\to\infty}\left[\frac{2x^2}{x^2-1}\right]=2\cdot\lim\limits_{x\to\infty}\left[1+\frac{1}{x^2-1}\right]=2

Avatar von 153 k 🚀

(etwas spät, ich weiß :D)


Kannst du mir erklären was du bei dem vorletzten Gleichzeichen getan hast? Ich verstehe diese Umformung nicht.

Ja, gerne... ich habe eine sog. "nahrhafte Null" addiert:2x2x21=2x2x21=2x21+1=0x21\frac{2x^2}{x^2-1}=2\cdot\frac{x^2}{x^2-1}=2\cdot\frac{x^2\,\overbrace{-1+1}^{=0}}{x^2-1}=2(x21x21+1x21)=2(1+1x21)=2\left(\frac{x^2-1}{x^2-1}+\frac{1}{x^2-1}\right)=2\left(1+\frac{1}{x^2-1}\right)

Du bist ein Genie, danke! :DD

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