Aloha :)
Zeige zunächst durch vollständige Induktion: $$s_n:=1+2+3+\cdots+n=\frac{n^2+n}{2}$$Verankerung bei \(n=1\):$$s_1=1=\frac{1^2+1}{2}=\frac{n^2+n}{2}\quad\checkmark$$
Induktionsschritt \(n\to n+1\):
$$s_{n+1}=s_n+(n+1)\stackrel{(I.V.)}{=}\frac{n^2+n}{2}+(n+1)=\frac{n^2+n}{2}+\frac{2n+2}{2}$$$$\phantom{s_{n+1}}=\frac{n^2+3n+2}{2}=\frac{(n^2+2n+1)+(n+1)}{2}=\frac{(n+1)^2+(n+1)}{2}\quad\checkmark$$
Damit kannst du die Folgenglieder umschreiben:
$$a_n=\frac{1+2+\cdots+n}{n^2}=\frac{\frac{n^2+n}{2}}{n^2}=\frac{n^2+n}{2n^2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2n}\to\frac{1}{2}$$Die Folge konvergiert gegen \(\frac{1}{2}\).
