Normalengleichung in Ebene E mit zwei schneidenden Geraden

Question

Aufgabe:

Gegeben sind zwei sich schneidende geraden g und h, die daher beide in einer Ebene liegen. Bestimmen sie eine normalengleichung dieser Ebene E.

1. g:\( \vec{a} \) = \( \begin{pmatrix} 2\\-1\\3 \end{pmatrix} \) + r\( \begin{pmatrix} 2\\0\\1\end{pmatrix} \)

h:\( \vec{a} \) = \( \begin{pmatrix} 2\\-1\\3 \end{pmatrix} \) + s\( \begin{pmatrix} 0\\-1\\1\end{pmatrix} \)

2. g:\( \vec{a} \) = \( \begin{pmatrix} 1\\-10\\1\end{pmatrix} \) + r\( \begin{pmatrix} 2\\5\\1\end{pmatrix} \)

g:\( \vec{a} \) = \( \begin{pmatrix} 6\\-3\\-5 \end{pmatrix} \) + s\( \begin{pmatrix} - 1\\3\\8\end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wie ich die berechnen soll. Kann jemand bitte genau die Schritte erklären?

Answer 1

Aloha :)

1) Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist offensichtlich \(S(2|-1|3)\). Wir benötigen noch einen Normalenvektor \(\vec n\). Den erhalten wir aus dem Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren:

$$\vec n=\left(\begin{array}{c}2\\0\\1\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}0\\-1\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\cdot1-1\cdot(-1)\\1\cdot0-2\cdot1\\2\cdot(-1)-0\cdot0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\-2\\-2\end{array}\right)$$Die Normalengleichung ergibt sich daraus wie folgt:

$$\vec n\cdot\vec x=\vec n\cdot\vec s\quad\Leftrightarrow\quad\left(\begin{array}{c}1\\-2\\-2\end{array}\right)\vec x=\left(\begin{array}{c}1\\-2\\-2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}2\\1\\-3\end{array}\right)=6$$$$E_1:\;x_1-2x_2-2x_3=6$$

2) Hier musst du zunächst den Schnittpunkt noch ermitteln:

$$\left(\begin{array}{c}1\\-10\\1\end{array}\right)+\lambda\left(\begin{array}{c}2\\5\\1\end{array}\right)\stackrel{!}{=}\left(\begin{array}{c}6\\-3\\-5\end{array}\right)+\mu\left(\begin{array}{c}-1\\3\\8\end{array}\right)$$$$\lambda\left(\begin{array}{c}2\\5\\1\end{array}\right)-\mu\left(\begin{array}{c}-1\\3\\8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\\-3\\-5\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\-10\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5\\7\\-6\end{array}\right)$$$$\lambda\left(\begin{array}{c}2\\5\\1\end{array}\right)+\mu\left(\begin{array}{c}1\\-3\\-8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5\\7\\-6\end{array}\right)$$Dieses Gleichungssystem wird gelöst durch \(\lambda=2\) und \(\mu=1\). Das führt auf den Schnittpunkt \(S(5|0|3)\).

Ein Normalenvektor ist nun:

$$\vec n=\left(\begin{array}{c}2\\5\\1\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}-1\\3\\8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5\cdot8-1\cdot3\\1\cdot(-1)-2\cdot8\\2\cdot3-5\cdot(-1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}37\\-17\\11\end{array}\right)$$Die Normalengleichung ergibt sich daraus wie folgt:$$\vec n\cdot\vec x=\vec n\cdot\vec s\quad\Leftrightarrow\quad\left(\begin{array}{c}37\\-17\\11\end{array}\right)\vec x=\left(\begin{array}{c}37\\-17\\11\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}5\\0\\3\end{array}\right)=218$$$$E_2:\;37x_1-17x_2+11x_3=218$$

Answer 2

Zu 1.

Der Stützvektor bzw. Schnittpunkt von g und h ist der Aufpunkt der Ebene. Ausgehend von diesem Aufpunkt sind zum einen der Richtungsvektor von g und der von h je ein Spannvektor. Um von der Parameterform zur Normalenform zu gelangen brauchst du den Normalenvektor. Diesen erlangst du, indem du das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren bildest.