Unendliche Diedergruppe: Zeigen Sie, dass (D, °) eine Gruppe ist.

Question

Aufgabe Unendliche Diedergruppe (4)

Für $m \in \mathbb{Z}$ definieren wir Abbildungen

$\begin{aligned} s_{m}, r_{m}: \mathbb{Z} & \rightarrow \mathbb{Z} \\ s_{m}(n) &=m+n \\ r_{m}(n) &=m-n \end{aligned}$

und setzen $D:=\left\{r_{m}: m \in \mathbb{Z}\right\} \cup\left\{s_{m}: m \in \mathbb{Z}\right\}$.

Zeigen Sie, dass $(D, \circ)$ eine Gruppe ist. Dabei bezeichne o das Hintereinanderausführen von Abbildungen. Ist diese Gruppe abelsch?

Answer 1

1. Abgeschlossenheit und Nichtabelschheit:

$(s_k\circ s_m)(n)=s_k(s_m(n))=s_k(m+n)=k+m+n=s_{k+m}(n)$,
also $\; s_k\circ s_m=s_{k+m}\in D$.
entsprechend hat man:
$s_k\circ r_m=r_{k+m}\in D$ und $r_m\circ s_k=r_{m-k}\in D$.
Hieran sieht man u.a., dass die Gruppe nicht abelsch ist.
$r_k\circ r_m=s_{k-m}$.

2. Assoziativität: ist klar, da Hintereinanderausführung von Abbildungen
immer assozietiv ist.

3. Neutrales Element ist die identische Abbildung $s_0$.

4. Inverses:

$r_m\circ r_m=s_0$, also $r_m^{-1}=r_m$  und
$s_m\circ s_{-m}=s_0$, also $s_m^{-1}=s_{-m}$.

Gruß ermanus