Kann man unentscheidbare Sätze auch für Beweise verwenden?

Question

Angenommen es gibt einen Satz und es wurde bewiesen, dass dieser nicht beweisbar ist. Kann ich dann den Satz verwenden und sagen, wenn er stimmt, dann folgt A, wenn nicht, dann folgt B. Und wenn ich dann aus A und auch aus B weiter auf einen weiteren ein und denselben Satz C schlussfolgern kann, dann müsste C doch stimmen oder?

Comments

Ein Aussage ( Satz) ist entweder wahr oder falsch.

Angenommen es gibt einen Satz und es wurde bewiesen, dass dieser nicht beweisbar ist.

Dann ist der Satz falsch.

Answer 1

Ein Satz kann auf zwei Arten 'nicht beweisbar' sein:

1. er ist eine falsche Aussage,

2. er ist weder beweisbar, noch widerlegbar.

Im zweiten Falle kann er nicht in weitere Beweise eingebaut werden.

Im ersten Falle kann man aus einer falsche Aussage alles folgern (Wahres ebenso, wie Falsches). Aber da ¬A wahr ist, wenn A falsch ist, kann man aus Wahrem nur Wahres folgern.

Answer 2

Aloha :)

Wenn der Satz nicht beweisbar ist, kann er falsch sein. Aus etwas Falschem kann man etwas Richtiges oder etwas Falsches folgern. Beispiel:

"alle ungeraden Zahlen sind prim" => "3 ist prim", "9 ist prim"

Wenn der Satz stimmt, folgt A sicher. Wenn der Satz nicht stimmt, kannst du keine Aussage über die Richtigkeit von A oder B treffen. Daher kannst du auch über C keine Aussagen bezüglich wahr oder falsch treffen.

Comments

Wenn der "Satz" nicht beweisbar ist, wie zB. die Kontinuumshypothese, dann hat er überhaupt keinen Wahrheitswert.

Aussagen wie   Wenn der Satz nicht beweisbar ist, kann er falsch sein.  oder   wenn er stimmt, dann folgt A   sind deshalb sinnleer und deshalb kann aus ihnen auch nichts gefolgert werden.

Für Sätze mit Wahrheitswert ist die vom Fragesteller vorgeschlagene Schlussweise hingegen zulässig.