Bestimme den minimalen Abstand zwischen den Funktionen g(x) und f (x).

Question

Aufgabe:

g(x)= -0,1x²+6,9      xeR  -7 ≤ x ≤ 7

f(x)= √(36-x2 )         xeR  -6 ≤  x ≤ 6

Bestimme den minimalen Abstand zwischen den Funktionen g(x) und f (x).

Problem/Ansatz:

Wie gehe ich vor ? Mir fehlt der Ansatz

Comments

... es kommt darauf an, wie Du 'Abstand' definierst! Bei Funktionen verwendet man im Allgemeinen die vertikale Differenz. Dann wäre der Abstand \(a\)$$a = g(x) - f(x) = -0,1x^2 + 6,9 - \sqrt{36 - x^2}$$das gilt es zu minimieren.

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Und wie berechne ich aus dieser "Funktion" jetzt nun den minimalen abstand?

Was muss ich für x einsetzen.

Answer 1

Hallöchen ..,

wie schon im Kommentar erwähnt, sollte vor der Aufgabe der 'Abstand' definiert sein. Wenn(!) der Abstand \(a(x)\) die vertikale Differenz der beiden Funktionen ist, so ist $$a(x)  = g(x) - f(x) = -0,1x^2 + 6,9 - \sqrt{36 - x^2}$$um nun das minimale \(x\) zu finden, leitet man ab und setzt die Ableitung zu \(0\)$$\begin{aligned}a'(x) = -0,2x + \frac{x}{\sqrt{36-x^2} } &= 0 \\ 0,2x \sqrt{36 - x^2} &= x \\ 0,04(36-x^2) &= 1 \\ 36 - x^2 &= 25 \\ x_{1,2} &= \pm \sqrt{11} \end{aligned}$$Der Graph zeigt das nochmal:

~plot~ sqrt(36-x^2);-0,1x^2+6,9;[[-8|8|-2|8]];-0,1x^2+6,9-sqrt(36-x^2) ~plot~

Die grüne Kurve ist \(a(x)\). Der kleinste vertikale Unterschied ist dann \(a(\pm \sqrt{11})=-0,1\cdot 11 + 6,9 - \sqrt{36 - 11} = 0,8\)

Gruß Werner

Comments

Vielen Dank!

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Wobei unrealistisch ist, wenn die weiteste Entfernung der Grafen bei den MAX Punkten 1 beträgt

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Wobei unrealistisch ist, wenn die weiteste Entfernung der Grafen bei den MAX Punkten 1 beträgt

???????????????

Der Unterschied zwischen 6,9 und 6 beträgt nicht 1, sondern nur 0,9.

Werner hat dir nicht den (senkrechten) Unterschied ausgerechnet, Er hat dir vorgerechnet, dass dieser Unterschied an den Stellen -3 und 3 minimal wird.

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Wobei unrealistisch ist, wenn die weiteste Entfernung der Grafen bei den MAX Punkten 1 beträgt

das verstehe ich nicht. Was heißt 'bei den MAX Punkten' ?

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Hallo Werner
kleiner Fehlerhinweis
36 - x^2 = 25
x^2 = 11
x = ± 3.32
d = 0.8
mfg Georg

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@Georg: Danke - hat sonst wieder keiner gemerkt ;-)

Schade eigentlich; die \(1\) wäre so ein schönes Ergebnis gewesen.

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Wenn " 1 " oder ein anderes ganzzahliges
Ergebnis aus einer längeren Aufgabe
mit reellen Zahlen herauskommt " weiß "
man eigemtlich : die Aufgabe wurde so gestellt
das dies Ergebnis richtig ist.
Aber halt nicht immer.

zur Erheiterung :
Quallen : seit 500 Millionen Jahren schwimmen
sie in den Ozeanen und haben kein Hirn.

Answer 2

Ich hätte tatsächlich aufgrund der Aufgabenstellung einen Kreisbogen mit maximalem Durchmesser in die andere Funktion einbeschrieben.

~plot~ -0.1x^2+6.9;sqrt(36-x^2);sqrt(44-x^2);[[-8|8|0|11]] ~plot~

Der kleinste Abstand wäre dann √44 - √36 = 0.6332

Aber diskutiert ruhig mit der Lehrkraft welchen kleinsten Abstand ihr genau nehmen sollt.

Answer 3

Der Punkt von g, der den geringsten Abstand zum Ursprung hat, hat auch den geringsten Abstand von f.

Von diesem Minimalabstand zum Ursprung musst du noch den Kreisradius (also 6 LE) subtrahieren.

Comments

Danke, wie berechne ich den kleinsten Abstand von g zum Ursprung ?

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Der Punkt von g, der den geringsten Abstand zum Ursprung hat, hat auch den geringsten Abstand von f.

wäre korrekt, wenn \(g(x)\) ebenfalls ein Kreis mit Mittelpunkt im Ursprung wäre. Ist es aber nicht.

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Minimiere x²+(-0,1x²+6,9)².

@werner: Der kürzeste Abstand ist die Länge einer Verbindungslinie, die auf beiden Graphen senkrecht steht. In der Verlängerung geht diese Normale des Kreises durch den Kreismittelpunkt.

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Minimiere x²+(-0,1x²+6,9)².

wenn das der Abstand sein soll. Warum steht dann eine Strecke die den Abstand in einem konkretem Punkt angibt, auf der einen Funktion (\(f(x)\)) senkrecht und auf der anderen (\(g(x)\)) nicht? Sollte man dann nicht die kürzeste Verbindung wählen?

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Länge einer Verbindungslinie, die auf beiden Graphen senkrecht steht.

Wer lesen kann ist klar im Vorteil!

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Wie bereche ich den geringen Abstand von g zum koordinatenursrung ?

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Minimiere \(\sqrt{x²+(-0,1x²+6,9)²}\). Der gefundene Minimalwert ist der Minimalabstand von g zum Ursprung.

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Wer lesen kann ist klar im Vorteil!

Und wer gucken kann auch ;-) - wie soll denn diese Verbindungslinie aussehen? Ist das womöglich eine Gerade durch den Ursprung? Dann zeichne die doch bitte mal ein, und zeige uns, dass die auch stets senkrecht auf der Parabel \(g(x)\) steht.

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Zufrieden?

Sieht man aber auch schon im Bild vom Coach.

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Sorry für die Frage aber wie kommst du auf die Gleichung und was meinst du mit minimieren?

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Achso ich weiß wie du auf die Gleichung kommst aber was meinst du mit minimieren?

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Sorry für die Frage aber wie kommst du auf die Gleichung

Das hat dir Werner in deiner anderen Frage erklärt:

und was meinst du mit minimieren?

... für die von mir genannte Funktion das Minimum bestimmen

(erste Ableitung bilden und gleich 0 setzen, damit mögliche Extremstellen ermitteln, mit 2. Ableitung Art des Extremums bestimmen, an den gefundenen Minimumstellen den Funktionswert ausrechnen)

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@abakus: Was ich sagen wollte war, dass der Term \(\sqrt{x^2+g^2(x)} - 6\) eben kein Mass für den Abstand der beiden Funktionen ist. Richtig ist aber, dass das Minimum dieser Funktion eine notwendige Bedingung für den Ort des geringsten Abstands ist.

Und in diesem Punkt gebe ich Dir Recht.

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@mardude5: wenn man den Ort des geringsten Abstands zwischen den beiden Funktionen als die Punkte der größsten räumlichen (eigentlich flächigen) Annäherung definiert, so ist eine notwendige Bedingung, dass dort beide Richtungen (und damit die Steigungen) der Funktionen gleich sind. Und da \(f(x)\) einen (Halb-)kreis mit Mittelpunkt im Ursprung beschreibt, muss für \(g(x)\) gelten:$$g'(x)=- \frac{x}{g(x)}$$mache Dir bitte eine Zeichnung, falls Du nicht verstehst, wie ich darauf komme.

Das führt zu einem etwas einfacheren Rechenweg als direkt den 'Abstands'-Term zu minimieren:

Einsetzen von \(g(x)\) und Auflösen nach \(x\) gibt$$\begin{aligned} g(x) &= -0,1x^{2}+6,9 \\ g'(x) &= -0,2x \\ -0,2x &= - \frac{x}{-0,1x^{2}+6,9} && \left|\, x=0 \to \text{lok. Max.} \right.\\ -0,2(-0,1x^{2}+6,9) &= -1 \\ 0,02x^2 &= -1+1,38 = 0,38 \\ x_{1,2} &= \pm \sqrt{19} \approx 4,359 \end{aligned}$$und das Ergebnis ist natürlich identisch mit dem vom Mathecoach$$a_{min} = \sqrt{19 +(- 0,1 \cdot 19 + 6,9)^2} - 6 = 2\sqrt{11}-6 \approx 0,6332$$

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lieben dank!