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Aufgabe:

Sei (G,) (G,\cdot)  eine Gruppe. Zeigen Sie, dass

 gh : aG : h=a1gag \sim h: \Leftrightarrow \exists a \in G: h = a^{-1}ga

eine Äquivalenzrelation definiert.

Meine Rechnung:

\sim ist reflexiv, denn xG : xx \forall x \in G: x \sim x, da für a = x gilt: x=x1xx=ex=x x = x^{-1}xx = ex = x

\sim ist symmetrisch, denn x,yG : xyyx \forall x,y \in G: x \sim y \Rightarrow y \sim x.

Gelte nämlich xy x \sim y , d.h. aG : y=a1xaa1y=a1xa1a=a1xa1ya=a1ax=x \exists a \in G: y = a^{-1}xa \\ \Rightarrow a^{-1}y = a^{-1}xa^{-1}a = a^{-1}x \\ \Rightarrow a^{-1}ya = a^{-1}ax = x

Bei der Transitivität komme ich leider nicht weit, da bräuchte ich mal einen Ansatz. Passt das bei reflexiv und symmetrisch so?

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a−1y = a-1xa-1a

Begründe, wie du anhand der Gruppenaxiome von der Gleichung

        y=a-1xa

zu dieser Gleichung kommst!

Bei der Transitivität komme ich leider nicht weit

Sei g∼h und h∼k.

Sei a1 derart, dass

(1)        h = a1-1 g  a1

ist. Sei ferner a2 derart, dass

(2)        k = a2-1 h a2

ist.

Begründe, warum es solche a1 und a2 gibt. Forme dann (2) nach h um und setze in (1) ein. Forme die resultierende Gleichung nach k um.

Avatar von 107 k 🚀
Begründe, [...] zu dieser Gleichung kommst!

Oh, merke gerade selber, dass das so nicht geht. Ich habe ja einfach a1 a^{-1} in die rechte Seite eingesetzt und auf der linken Seite von links verknüpft. Das darf ich so ja nicht. Aber wie geht es dann?

Forme dann (2) nach h um und setze in (1) ein. Forme die resultierende Gleichung nach k um.

bei (2) komme ich auf:

h=a2ka21 h = a_{2}ka_{2}^{-1}

eingesetzt in (1):

a2ka21=a11ga1 a_{2}ka_{2}^{-1} = a_{1}^{-1}ga_{1} ... wie forme ich denn hier nach k um?

Aber wie geht es dann?

Forme h = a-1ga nach g um.

wie forme ich denn hier nach k um? 

Multipliziere von links mit a2 -1 und von rechts mit a2.

Forme h = a^{-1}ga nach g um.

g=aha1 g = aha^{-1} ... aber das passt doch nicht.

Multipliziere von links mit a2^{-1} und von rechts mit a2.

Ich komme dann auf 
k=a21a11ga1a2 k = a_{2}^{-1}a_{1}^{-1}ga_{1}a_{2}
reicht das schon?

ach, definier ich das dann einfach um?

also sei a : =a1a2 a := a_1a_2 Dann gilt:

k=a21a11ga1a2=(a1a2)1g(a1a2)=a1ga k = a_{2}^{-1}a_{1}^{-1}ga_{1}a_{2} = (a_1a_2)^{-1}g(a_1a_2) = a^{-1}ga

g = aha-1 ... aber das passt doch nicht.

h=a1gaa1ha1=a1gaa1(a1)1(a1)1ha1=(a1)1a1ga1(a1)1ha1=g\begin{aligned} h & =a^{-1}ga & & |\,\cdot a^{-1}\\ ha^{-1} & =a^{-1}gaa^{-1} & & |\,\left(a^{-1}\right)^{-1}\cdot\\ \left(a^{-1}\right)^{-1}ha^{-1} & =\left(a^{-1}\right)^{-1}a^{-1}ga^{-1}\\ \left(a^{-1}\right)^{-1}ha^{-1} & =g \end{aligned}

Es gibt also ein Element der Gruppe, das man von rechts an h multipliziert und dessen Inverses man von links an h multipliziert um g zu erhalten. Dieses Gruppenelement ist a-1. Das Inverse von a-1 ist (a-1)-1. Wie du wahrscheinlich schon weißt, ist (a-1)-1 = a.

sei a:=a1a2

Dann gilt:

k=a2-1a1-1ga1a2=(a1a2)-1g(a1a2)=a-1ga

Jetzt reichts. Vorher nicht. Insbesondere der Zusammenhang

        (ab)-1 = b-1 a-1

ist hier entscheidend, da ja die Gruppe nicht notwendigerweise kommutativ ist.

BTW wikipedia://Konjugation_(Gruppentheorie).

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