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Sei V V ein C \mathbb{C} -Vektorraum. Wir nennen zwei Normen \|\cdot\| und \|\mid \cdot\| auf V V äquivalent, falls c,C>0 c, C>0 so existieren, dass

cxxx fu¨r alle xV gilt.  c\|x\| \leq\|x\|\|\leq\| x \| \quad \text { für alle } x \in V \text { gilt. }
Wir notieren dies mit \|\cdot\| \sim|\|\cdot \mid\| .
(a) Zeigen Sie, dass die binäre Relation \sim eine Äquivalenzrelation (reflexiv, transitiv, symmetrisch) auf der Menge der Normen auf V V ist.
(b) Seien \|\cdot\| und \|\cdot \mid\| äquivalente Normen auf V V mit den induzierten Metriken d d_{\|\cdot\|} und d d_{\|\cdot\| \mid} . Zeigen Sie, dass eine Menge genau dann offen bzgl. d d_{\|\cdot\|} ist, wenn sie offen bzgl. d d_{\|\cdot\|} \cdot \| ist.
(c) Zeigen Sie, dass der metrische Raum (V,d) \left(V, d_{\|\cdot\|}\right) genau dann vollständig ist, wenn (V,d) \left(V, d_{\|\cdot\|}\right) vollständig ist.



Problem/Ansatz:

Mein Problem bei dieser Aufagbe ist, dass ich nicht weiß wie ich die Sachen anwenden soll. Ich kenn die Definition zu den Äquivalenzrelationen, aber hab es nicht geschafft die hier anzuwenden.

Bei den anderen Teilaufgaben ist es ähnlich.

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Reflexivität. Wähle

        c=C=1c = C = 1

Symmtrie. Ist

        cxxCxc\cdot ||x|| \leq |||x||| \leq C\cdot ||x||,

dann ist

        x1cx||x|| \leq \frac{1}{c}|||x|||

und

        1Cxx\frac{1}{C}|||x|||\leq ||x||

Transitivität. Sei

      c1xxC1xc_1\cdot |x| \leq ||x|| \leq C_1\cdot |x|

und

      c2xxC2xc_2\cdot ||x|| \leq |||x||| \leq C_2\cdot ||x||.

Begründe dass es c,C>0c,C>0 gibt, so dass

      cxxCxc\cdot |x| \leq |||x||| \leq C\cdot |x|

Avatar von 107 k 🚀

Wir begründe ich denn bei der transitivität, dass es c,C gibt?

c1xxc_1\cdot |x| \leq ||x|| \leq \dots

Dann ist

        c2c1xc2xc_2\cdot c_1\cdot |x| \leq c_2\cdot ||x||.

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