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Aufgabe:

Bestimmen Sie die Parameter  a, b und c so, dass der Graph von f die x-Achse bei  x=0  berührt und die Tangente in P(-3/0) parallel zur Geraden mit der Gleichung y=6x ist.   f(x)= ax^3 + bx^2 +cx

Problem/Ansatz:

Ich habe überhaupt keine Ahnung wie ich da vorgehen sollte. Sicher muss ich erst mal mit der Ableitung anfangen:              f'(x)= 31x^2 + 2bx +c. Und dann? Wie kann ich a, b und c herausfinden?

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Wie kann ich es selbst kontrollieren, wenn ich nicht einmal die Aufgabe verstehe?

Um die Aufgabe zu verstehen, solltest du zunächst die vier Zeilen lesen, die unter

"Eigenschaften eingeben" stehen.

Welche der 4 Eigenschaften kannst du (nach Vergleich mit dem Aufgabentext) NICHT nachvollziehen?

Wie kann ich es selbst kontrollieren, wenn ich nicht einmal die Aufgabe verstehe?

Und wenn du genau sagst, was du nicht verstehst könnten wir auch witerhelfen.

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** der Graph von f die x-Achse bei  x=0  berührt

d.h. (a) der Punkt (0;0) liegt auf f, also f(0) = 0;

(b) die x-Achse ist (hier waagrechte) Tangente an f im Punkt (0;0), also f'(0) = 0

** die Tangente in P(-3/0) parallel zur Geraden mit der Gleichung y=6x ist.

(c) der Punkt (-3;0) liegt auf f, also f(-3) = 0

(d) parallel heißt gleiche Steigung wie y = 6x, also f'(-3) = 6

** Die Funktion ist \( f(x) = ax^3+bx^2+cx \); die Ableitung \( f'(x) = 3ax^2+2bx+c \)

Nun alles einsetzen und ausrechnen.

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Bestimmen Sie die Parameter a, b und c so, dass der Graph von f die x-Achse bei \(x=0\)  berührt und die Tangente in P\((-3|0)\) parallel zur Geraden mit der Gleichung \(y=6x\) ist. \(f(x)= ax^3 + bx^2 +cx\)

Berührung in  \(x=0\) →  doppelte Nullstelle

Tangente in P\((-3|0)\)  →  einfache Nullstelle

Somit ist die Nullstellenform der Parabel 3. Grades der logische Lösungsweg:

\(f(x)=ax^2(x+3)=a(x^3+3x^2)\)

Tangente in P\((\red{-3}|...)\) ist parallel zu \(y=6x\)

Die Steigung der Geraden ist \(m=\green{6}\)

\(f'(x)=a(x^3+3x^2)\)

\(f'(x)=a(3x^2+6x)\)

\(f'(\red{-3})=a(3\cdot 9-18)=9a=\green{6}\)

\(a=\frac{2}{3}\)

\(f(x)=\frac{2}{3}(x^3+3x^2)=\frac{2}{3}x^3+2x^2\)

\(a=\frac{2}{3}\)  ,    \(b=2\)  und   \(c=0\)

\(f(x)=\frac{2}{3}x^3+2x^2\)

Unbenannt.JPG

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