Wie bestimmt man Parameter mit Tangente und Gerade?

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Parameter  a, b und c so, dass der Graph von f die x-Achse bei  x=0  berührt und die Tangente in P(-3/0) parallel zur Geraden mit der Gleichung y=6x ist.   f(x)= ax^3 + bx^2 +cx

Problem/Ansatz:

Ich habe überhaupt keine Ahnung wie ich da vorgehen sollte. Sicher muss ich erst mal mit der Ableitung anfangen:              f'(x)= 31x^2 + 2bx +c. Und dann? Wie kann ich a, b und c herausfinden?

Answer 1

Benutze zur Selbstkontrolle

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

Comments

Wie kann ich es selbst kontrollieren, wenn ich nicht einmal die Aufgabe verstehe?

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Um die Aufgabe zu verstehen, solltest du zunächst die vier Zeilen lesen, die unter

"Eigenschaften eingeben" stehen.

Welche der 4 Eigenschaften kannst du (nach Vergleich mit dem Aufgabentext) NICHT nachvollziehen?

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Wie kann ich es selbst kontrollieren, wenn ich nicht einmal die Aufgabe verstehe?

Und wenn du genau sagst, was du nicht verstehst könnten wir auch witerhelfen.

Answer 2

** der Graph von f die x-Achse bei  x=0  berührt

d.h. (a) der Punkt (0;0) liegt auf f, also f(0) = 0;

(b) die x-Achse ist (hier waagrechte) Tangente an f im Punkt (0;0), also f'(0) = 0

** die Tangente in P(-3/0) parallel zur Geraden mit der Gleichung y=6x ist.

(c) der Punkt (-3;0) liegt auf f, also f(-3) = 0

(d) parallel heißt gleiche Steigung wie y = 6x, also f'(-3) = 6

** Die Funktion ist \( f(x) = ax^3+bx^2+cx \); die Ableitung \( f'(x) = 3ax^2+2bx+c \)

Nun alles einsetzen und ausrechnen.

Answer 3

Bestimmen Sie die Parameter a, b und c so, dass der Graph von f die x-Achse bei \(x=0\)  berührt und die Tangente in P\((-3|0)\) parallel zur Geraden mit der Gleichung \(y=6x\) ist. \(f(x)= ax^3 + bx^2 +cx\)

Berührung in  \(x=0\) →  doppelte Nullstelle

Tangente in P\((-3|0)\)  →  einfache Nullstelle

Somit ist die Nullstellenform der Parabel 3. Grades der logische Lösungsweg:

\(f(x)=ax^2(x+3)=a(x^3+3x^2)\)

Tangente in P\((\red{-3}|...)\) ist parallel zu \(y=6x\)

Die Steigung der Geraden ist \(m=\green{6}\)

\(f'(x)=a(x^3+3x^2)\)

\(f'(x)=a(3x^2+6x)\)

\(f'(\red{-3})=a(3\cdot 9-18)=9a=\green{6}\)

\(a=\frac{2}{3}\)

\(f(x)=\frac{2}{3}(x^3+3x^2)=\frac{2}{3}x^3+2x^2\)

\(a=\frac{2}{3}\)  ,    \(b=2\)  und   \(c=0\)

\(f(x)=\frac{2}{3}x^3+2x^2\)