Wie viele abelsche Gruppen der Ordnung 2^2*5^2 gibt es bis auf Isomorphie

Question

Aufgabe:

Hallo,

1.Bestimme alle Isomorphieklassen abelscher Gruppen der Ordnung 100.

2. Wieviele abelsche Gruppen der Ordnung 2^2*5^2 gibt es bis auf Isomorphie?

Problem/Ansatz:

Gibt es für die zwei Fragestellungen eine Formel für die Anzahl? Kann jemand an einem kleinen Beispiel nochmal den Unterschied zwischen 1. und 2. erklären?

Lösung zu 1)

Z100, Z5xZ20,Z2xZ50,Z10xZ10, Z4xZ25,Z4xZ5xZ5,Z2xZ2xZ5xZ5, Z2xZ5xZ10  insgesamt 9

Eine Idee für die Formel zu a) wäre die Potenzen multiplizieren. Also 2*2 ergibt 4 abelsche Gruppen der Ordnung 100 bis auf Isomorphie.

Die Formel ergibt sich durch das Kreuzprodukt: {2^1, 2^2}x {5^1, 5^2}

Answer 1

Die Fragestellungen 1 und 2 unterscheiden sich dadurch, dass du bei 2 nur die Anzahl der Isomorphieklassen angeben und bei 1 die Isomorphieklassen selbst angeben musst.

Es gibt insgesamt 4 abelsche Gruppen mit 100 Elementen

Diese funktionieren: Z100, Z5xZ20,Z2xZ50,Z10xZ10

Die restlichen 5 sind zu eine dieser 4 Gruppen isomorph. Z.B. ist Z4 x Z25 isomorph zu Z100 gemäß chinesischem Restsatz.

Theorie dazu:

https://de.wikipedia.org/wiki/Hauptsatz_%C3%BCber_endlich_erzeugte_abelsche_Gruppen

Ist \( N = p_1^{r_1} ⋅p_2^{r_2} ⋅ ⋯ ⋅ p_k^{r_k} \)  die Primfaktorzerlegung von \(N\), dann existieren bis auf Isomorphie genau \( P ( r_1 ) ⋅ P ( r_2 ) ⋅ ⋯ ⋅ P ( r_k ) \) abelsche Gruppen mit \( N \) Elementen. ( P ist dabei die Partitionsfunktion.)

https://de.wikipedia.org/wiki/Partitionsfunktion

Comments

Hi, also für 2., wenn die Fragestellung nach 2^5* 3^4 wäre, wäre dann 5*4 = 20 richtig?

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1.Die isomorph sind, sind in einer Isomorphieklasse?

2.Bei 2. soll man nur die Anzahl der Isomorphielassen angeben?

3. Passt meine Vermutung dass man die Exponenten einfach multiplizieren muss um auf die Anzahl zu kommen?

LG

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Nein. Es gibt bis auf Isomorpie P(5) * P(4) = 7 * 5 = 35 abelsche Gruppen der Ordnung 2592

1.Die isomorph sind, sind in einer Isomorphieklasse?

Ja, die Isomorphieklasse ist die Klasse (anschaulich also einfach eine Menge) die alle Gruppen enthält welche isomorph zueinander sind.

Z100 und Z4 x Z25 liegen z.B. in derselben Isomorphieklasse

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Das hast du mit dieser Partitionsfunktion berechnet nehme ich an. Vielen