cos((4πx)/3)=-0,8x+1,5

Question

Aufgabe:

cos(4πx÷3)=-0,8x+1,5

Problem/Ansatz:

Wie löse ich diese Gleichung?

Comments

Ich danke allen, die sich mit diesem Problem beschäftigt und mir eine Antwort geschickt haben. Ihr habt mir alle sehr geholfen.

Gruß Blackbird alias Jürgen Vogel

Answer 1

Hallo,

normalerweise mit einem Näherungsverfahren. In diesem speziellen Fall kommt man aber über die beiden Graphen und durch geschicktes Probieren zu 'glatten' Lösungen.

Plotlux öffnen

f₁(x) = cos(4·π·x/3)f₂(x) = -0,8·x+1,5Zoom: x(-1…4) y(-2…2)

die beiden Graphen haben drei Schnittpunkte. Und da fällt natürlich sofort die gemeinsame Nullstelle in's Auge. Das führt recht schnell zu $$x_1 = \frac{15}{8}$$Einsetzen in die Gleichung zeigt, dass dies eine exakte Lösungen ist $$\begin{aligned} \cos\left(\frac{4 \pi \cdot 15}{3 \cdot 8} \right) &=-\frac 45 \cdot \frac {15}8 + \frac 32 \\ \cos\left(\frac{5\pi }{2} \right) &= 0\end{aligned}$$Die anderen beiden Lösungen sind $x_2= 5/4$ und $x_3=5/2$

Rechnerisch könnte man folgendes machen (wenn man schon weiß, wo man hin will!). Substituiere $$x = \frac 18 (u+15)$$Dann ergibt sich$$\begin{aligned} \cos\left( \frac {4\pi}3 x \right) &=-\frac 45 x+ \frac 32 \\ \cos\left( \frac {4\pi}3 \cdot \frac 18 (u+15) \right) &= -\frac 45 \cdot \frac 18 (u+15)+\frac 32 \\ \cos\left( \frac {\pi}6 u + \frac {5\pi }{2} \right) &= -\frac 1{10} u \\ -\sin \left( \frac {\pi}6 u \right) &= - \frac 1{10} u \\ \sin \left( \frac {\pi}6 u \right) &= \frac 1{10} u \\ \end{aligned}$$Die Lösung $u=0$ steht unmittelbar fest. Und da der Sinus einen möglichst 'einfache' rationale Zahl ergeben sollte, kommt man auch schnell auf $u=\pm 5$. Wenn man sich den Einheitskreis im Kopf vorstellen kann, sieht man das ;-)

Gruß Werner

Comments

Danke, die gemeinsame Nullstelle sieht man über die grafische Darstellung und ist auch eine Lösung. Aber wie kommst du rein rechnerisch auf die beiden anderen?

---

Aber wie kommst du rein rechnerisch auf die beiden anderen?

ehrlich gesagt: gar nicht! Ein scharfer Blick auf den Graphen lieferte mir die Punkte $(5/4;\, 1/2)$ und $(5/2;\, -1/2)$ - anschließende Prüfung durch Probe und fertig.

.. ich habe die Antwort aber noch mal erweitert (s.o.)

---

Vielen Dank, hat mir sehr geholfen!

Answer 2

Verwende ein Näherungsverfahren.

Algebraisch kann man nicht nach x umstellen.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=cos%284%CF%80x%C3%B73%29%3D-0.…

Answer 3

Sieht nach einem numerischen Verfahren aus:

$\left(\begin{array}{rr}0&-0.5\\0.5&-1.6\\1&-1.2\\1.5&0.7\\2&-0.4\\2.5&0\\3&1.9\\\end{array}\right) \\ \left\{ x = 1.25, x = 1.88, x = 2.5 \right\}$

Comments

Sorry, die Matrix checke ich nicht.

---

Das ist eine Wertetabelle  δx=1/2

f(x)=cos(4πx÷3)+0,8x-1,5

die Nullstelle 2.5 wurde direkt getroffen, da muss noch was zwischen f(1)-f(1.5) sein und f(1.5)-f(2).

Mach die Tabelle kleinteiliger δx=1/4

dann findest Du die Nullstelle x=1.25

und dann musst Du zwischen f(1.75) - f(2) suchen - ein paar mal das Intervall halbieren um sich dieser Nullstelle anzunähern...

Answer 4

Bring alles auf eine Seite und suche die Nullstellen mit dem Newton-Verfahren.