Extremwertaufgabe - Sportplatz

Question

Aufgabe:

12. Ein Sportplatz mit 400 \( \mathrm{m} \) - Bahn hat die Form eines Rechtecks mit zwei angesetzten  Hallbkreisen. Für das Fußballfeld schreibt der DFB eine Mindestlänge von 90 m und eine Höchststlänge von 120 m vor.

a) Zeigen Sie, dass sich der Flächeninhalt des Spielfelds in Abhängigkeit von der Länge \( x \) durch die Funktion
$$ A: D \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \frac{2}{\pi} \cdot x \cdot(200-x) $$
beschreiben lässt. Welche Wahl für \( D \) ist sinnvoll?

b) Welche Länge muss das Spielfeld haben, damit sein Flächeninhalt maximal wird?

Wie setzt man hier die Zielfunktion auf? Besonders die Halbkreise verwirren mich.

Answer 1

Hallo,

die Zielfunktion ist der Flächeinhalt \(A\) des rechteckigen Spielfelds. Ist \(r\) der Radius der Halbkreise und \(x\) die Länge des Kreises, so ist die Flächeninhalt \(A\) $$A = 2r \cdot x$$das ist auch die Zielfunktion. Die se gilt es zu maximieren. Die Halbkreise spielen hier noch keine Rolle.

Aus der Forderung, dass die Bahn 400m lang sein soll, folgt die Nebenbedingung$$\begin{aligned} 2r \pi + 2x &= 400 \\ \implies r \pi + x - 200 &= 0  \end{aligned}$$Wenn man hier \(r\) isoliert$$\begin{aligned} r\pi &= 200 - x \\ r &= \frac 1{\pi} (200 - x)\end{aligned}$$ und oben in die Zielfunktion einsetzt, kommt man zu $$\begin{aligned}r &= \frac 1{\pi} (200 - x) \\ A &= 2r \cdot x \\ &= \frac 2{\pi} (200 - x) \cdot x \end{aligned}$$Das Ableiten dieser Funktion und \(=0\) setzen, führt zu \(x=100\).

Folgender Graph zeigt die Fläche \(A\) des Spielfelds in Abhängigkeit von \(x\)

~plot~ 2*(200-x)*x/pi;[[-20|220|-10|8000]] ~plot~

siehe auch hier.

Gruß Werner