Wie ist der Sportplatz anzulegen? Welchen Flächeninhalt hat das Spielfeld?

Question

Aufgabe: Es soll ein Sportplatz, bestehend aus einem möglichst großen rechteckigen Spielfeld und einer 400m Laufbahn angelegt werden. Das zur Verfügung stehende Gelände lässt aber höchstens eine Spielfeldbreite von 50m zu. Wie ist der Sportplatz anzulegen? Welchen Flächeninhalt hat das Spielfeld?

Problem/Ansatz:

Mein Problem ist der Rechenweg. Ich habe die Aufgabe jetzt schon einige male jedes mal anders gerechnet und komme für a immer auf 100, was schlichtweg einfach falsch ist.

Folgenden Ansatz hatte ich bisher:

geg.:

u=2pi * r + 2a

A=a*b

r = b/2

u=400m

Ich glaube ich habe einen Fehler in der Ableitung.

Jedenfalls komme ich auf folgende Endfunktion:

A(a)=(-2a^2+400a)/(pi)

Ich würde mich freuen wenn in den Antworten ein Lösungsweg zum besseren nachvollziehen dabei wäre. Vielen Dank im voraus!

Comments

Wie sieht deine Skizze aus?

Answer 1

b = max 50 m
Ich nehme an das links und rechts Halbkreise sind
Halbkreise = b * pi

Spielfeld
b * l =

Laufweg
( b + l ) * 2 ( Rechteck ) +
b * pi ( Halbkreise ) = 400 m
Fläche = b * l ( max )
( b + l ) * 2  + b * pi = 400 m
2 b + 2l = 400 - b * pi
2l = 400 - b * pi - 2b
l = ( 400 - b * pi - 2b ) / 2
Einsetzen
Fläche = b * l ( max )
Fläche = b *   ( 400 - b * pi - 2b ) / 2
Fläche ´ = 0
b = 200 / ( Pi + 2 ) = 38.0 m

( b + l ) * 2  + b * pi = 400 m
( 38 + l ) * 2  + 38 * pi = 400 m
l = 102.31

A = 38 * 102.31 = 3887,78 m^2

U = 400 m

Comments

Du hast aber zur Berechnung des Halbkreises den kompletten Durchmesser des Kreisen (Breit des Spielfeldes) genommen. Müsste es nicht der Radius also b/2 sein?

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Es geht um den gesamten Kreis aus zwei Halbkreisen. Der Umfang eines kreises ist 2*pi*r oder pi*d

Das ist also korrekt. Das zur Laufbahnlänge von 400 m allerdings die Breite gezählt wird ist unüblich. Die Laufbahnlänge besteht aus 2 * a + pi * b.

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b = 200 / ( Pi + 2 ) = 38.0 m

Das scheint doch sehr stark gerundet zu sein.

Mit exakten Werten weitergerechnet erhielte man l = 100 m und nicht 102.31 m.

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Die Rechnung wurde aus Versehen hier
eingestellt . Ich rechne noch einmal nach.

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Der Fehler lag schon im Ansatz. Nicht :
Laufweg
( b + l ) * 2 ( Rechteck ) +
b * pi ( Halbkreise ) = 400 m
sondern
l * 2 +
b * pi ( 2 Halbkreise ) = 400 m

b = 50 m
l = 121.46 m
A = 6073.01 m^2
U = 400 m

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Answer 2

Es soll ein Sportplatz, bestehend aus einem möglichst großen rechteckigen Spielfeld und einer 400m Laufbahn angelegt werden. Das zur Verfügung stehende Gelände lässt aber höchstens eine Spielfeldbreite von 50m zu. Wie ist der Sportplatz anzulegen? Welchen Flächeninhalt hat das Spielfeld?

Optimierung ohne Begrenzung der Breite auf 50 m.

Benutze b = 2r

U = 2·a + 2·pi·r --> a = U/2 - pi·r

A = 2·r·a = 2·r·(U/2 - pi·r) = r·U - 2·pi·r^2

A' = U - 4·pi·r = 0 --> r = U/(4·pi)

a = U/2 - pi·(U/(4·pi)) = U/4

A = (U/(4·pi))·U - 2·pi·(U/(4·pi))^2 = U^2/(8·pi)

Für deinen Wert von U = 400 m ergibt sich damit also

r = 400/(4·pi) = 31.83 m

a = 400/4 = 100 m

A = 400^2/(8·pi) = 6366 m²

Da für 2·r nur eine Breite von 50 m zugelassen ist hat man bei r = 25 m ein Radmaximum

r = 25 m

a = 400/2 - pi·25 = 121.5 m

A = 25·400 - 2·pi·25^2 = 6073 m²

Comments

Erstmal Vielen Dank! Von ist A bzw. A' aber jetzt abhängig? Jede Funktion wird ja Beispielsweise so geschrieben f(x)= dasss heißt y ist abhängig von x, wie ist es denn jetzt aber in deiner Lösung? Dort hast du für a eingesetzt und für r am Ende auch, sodass keine erkennbare Abhängigkeit mehr da ist...

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Am Anfang berechne ich es in Abhängigkeit von r.

A = r·U - 2·pi·r^2

Hier kommt also neben dem bekannten Umfang nur r als Variable drin vor.

Wenn ich das ausrechne komme ich allerdings auf r = 25 m was für das Gelände zu breit ist. Dann darf ich auch für r das Randextrema von 25 einsetzen.