Binomialkoeffizient von negativen Zahlen

Question

\( \sum \limits_{k=0}^{2}\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{2} \\ k\end{array}\right) \cdot k ! \)

 Was ist die allgemeine Formel?

Antwort ist 1- 1/2 + 3/8. Aber warum?

Comments

Habe ich gefunden:

\( \left(\begin{array}{l}\alpha \\ k\end{array}\right)=\left\{\begin{array}{lll}\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2) \cdots(\alpha-(k-1))}{k !}, & \text { wenn } & k>0 \\ 1, & \text { wenn } & k=0 \\ 0, & \text { wenn } & k<0\end{array}\right. \)

:)) nevermind

Answer 1

Im Original gilt

$$\left( {n \atop k} \right) = {n! \over k! \cdot(n-k)!}$$

Wenn Du das ausschreibst, sieht Du, dass Du mit $$(n-k)!$$ kürzen kannst und übrig bleibt

$$\left( {n \atop k} \right) = {n(n-1)(n-2)\cdots(n-(k-1)) \over k!}$$

Der Zähler ist also eine Folge von \(k\) Zahlen, die bei \(n\) beginnt und immer um 1 kleiner wird.

In Erweiterung des Binomialkoeffizienten gibt man nun die Ganzzahligkeit von \(n\) auf und erlaubt beliebige reelle Zahlen.