Lösungsmenge in komplexer Zahlenebene skizzieren

Question

Aufgabe:

Skizzieren Sie die Lösungsmenge der Gleichung $\Im((i-1) \cdot z)=0, \quad z \in \mathbb{C}$
in der komplexen Zahlenebene. Hier bezeichnet $i \in \mathbb{C}$ die imaginäre Einheit. Begründen Sie Ihre Skizze!

Problem/Ansatz:

Wie muss ich hier denn vorgehen? Das zeichnen in der komplexen Zahlenebene ist mir ein vollkommenes Rätsel, wie betrachte ich hier den Imaginärteil der mir als dieses geschnörkelte I dargestellt wird?

Answer 1

Sei $z = z_r + i\cdot z_i$ mit $z_r,z_i\in \mathbb{R}$. Dann ist

$\begin{aligned} (i - 1) \cdot z &= (i - 1) \cdot (z_r + i\cdot z_i)\\ &= -z_r - z_i + i\cdot(z_r - z_i)\text{.} \end{aligned}$

Somit ist

$\begin{aligned}&&\mathfrak{I}((i - 1) \cdot z) &=0\\&\iff&\mathfrak{I}(-z_r - z_i + i\cdot(z_r - z_i)) &=0\\&\iff&z_r - z_i &=0\\&\iff&z_r &=z_i\text{.}\end{aligned}$

Comments

Was ist unten vom zweiten auf den dritten Schritt passiert?

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$-z_r - z_i + i\cdot (z_r - z_i)$ ist eine komplexe Zahl.

$\mathfrak{I}(-z_r - z_i + i\cdot (z_r - z_i))$ ist der Imaginärteil dieser Zahl.

Weil $-z_r - z_i$ und $z_r - z_i$ reelle Zahlen sind, ist $z_r - z_i$ der Imaginärteil dieser Zahl.

Also habe ich in der Gleichung

        $\mathfrak{I}(-z_r - z_i + i\cdot (z_r - z_i)) = 0$

den Teil $\mathfrak{I}(-z_r - z_i + i\cdot (z_r - z_i))$ durch $z_r - z_i$ ersetzt.