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Aufgabe:

lna+lnb2lnab mit a,b1 \frac{\sqrt{lna}+\sqrt{lnb}}{2} \leq \sqrt{\ln\sqrt{ab}} \text{ mit a,b} \geq 1


Problem/Ansatz:

Sitze gerade an dieser Aufgabe zur Klausurvorbereitung und ich stehe gerade etwas auf dem Schlauch diese Aufgabe zu lösen.

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Aloha :)lna+lnb2lnab=12ln(ab)=12(lna+lnb)  2\left.\frac{\sqrt{\ln a}+\sqrt{\ln b}}{2}\le\sqrt{\ln\sqrt{ab}}=\sqrt{\frac{1}{2}\ln(ab)}=\sqrt{\frac{1}{2}\left(\ln a+\ln b\right)}\quad\right|\;\cdot2lna+lnb2(lna+lnb)  ()2\left.\sqrt{\ln a}+\sqrt{\ln b}\le\sqrt{2\left(\ln a+\ln b\right)}\quad\right|\;\left(\cdots\right)^2lna+lnb+2lnalnb2lna+2lnb  lnalnb2lnalnb\left.\ln a+\ln b+2\sqrt{\ln a\cdot\ln b}\le2\ln a+2\ln b\quad\right|\;-\ln a-\ln b-2\sqrt{\ln a\cdot\ln b}0lna+lnb2lnalnb  2. binomische Formel\left.0\le\ln a+\ln b-2\sqrt{\ln a\cdot\ln b}\quad\right|\;\text{2. binomische Formel}0(lnalnb)2\left.0\le\left(\sqrt{\ln a}-\sqrt{\ln b}\right)^2\quad\right.Da eine Quadratzahl immer 0\ge 0 ist, gilt die Behauptung für alle beliebigen a,b1a,b\ge1.

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Vielen dank für die ausführliche und gut nachvollziehbare Antwort!

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Auf beiden Seiten quadrieren:

ln(a)+2ln(a)ln(b)+ln(b)4 \frac{ln(a)+2\sqrt{ln(a)ln(b)}+ln(b)}{4} =ln((ab)1/2)

ln(a)+2ln(a)ln(b)+ln(b)4 \frac{ln(a)+2\sqrt{ln(a)ln(b)}+ln(b)}{4} =1/2·ln(ab)

ln(a)+2ln(a)ln(b)+ln(b)4 \frac{ln(a)+2\sqrt{ln(a)ln(b)}+ln(b)}{4} =ln(a)2 \frac{ln(a)}{2} +ln(b)2 \frac{ln(b)}{2}   |·4

ln(a)+2ln(a)ln(b) \sqrt{ln(a)ln(b)} +ln(b)=2ln(a)+2ln(b)

Nach der Wurzel auflösen und nochmal quadrieren.

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