Aufgabe:
lna+lnb2≤lnab mit a,b≥1 \frac{\sqrt{lna}+\sqrt{lnb}}{2} \leq \sqrt{\ln\sqrt{ab}} \text{ mit a,b} \geq 1 2lna+lnb≤lnab mit a,b≥1
Problem/Ansatz:
Sitze gerade an dieser Aufgabe zur Klausurvorbereitung und ich stehe gerade etwas auf dem Schlauch diese Aufgabe zu lösen.
Aloha :)lna+lnb2≤lnab=12ln(ab)=12(lna+lnb)∣ ⋅2\left.\frac{\sqrt{\ln a}+\sqrt{\ln b}}{2}\le\sqrt{\ln\sqrt{ab}}=\sqrt{\frac{1}{2}\ln(ab)}=\sqrt{\frac{1}{2}\left(\ln a+\ln b\right)}\quad\right|\;\cdot22lna+lnb≤lnab=21ln(ab)=21(lna+lnb)∣∣∣∣∣∣⋅2lna+lnb≤2(lna+lnb)∣ (⋯ )2\left.\sqrt{\ln a}+\sqrt{\ln b}\le\sqrt{2\left(\ln a+\ln b\right)}\quad\right|\;\left(\cdots\right)^2lna+lnb≤2(lna+lnb)∣∣∣∣(⋯)2lna+lnb+2lna⋅lnb≤2lna+2lnb∣ −lna−lnb−2lna⋅lnb\left.\ln a+\ln b+2\sqrt{\ln a\cdot\ln b}\le2\ln a+2\ln b\quad\right|\;-\ln a-\ln b-2\sqrt{\ln a\cdot\ln b}lna+lnb+2lna⋅lnb≤2lna+2lnb∣∣∣∣−lna−lnb−2lna⋅lnb0≤lna+lnb−2lna⋅lnb∣ 2. binomische Formel\left.0\le\ln a+\ln b-2\sqrt{\ln a\cdot\ln b}\quad\right|\;\text{2. binomische Formel}0≤lna+lnb−2lna⋅lnb∣∣∣∣2. binomische Formel0≤(lna−lnb)2\left.0\le\left(\sqrt{\ln a}-\sqrt{\ln b}\right)^2\quad\right.0≤(lna−lnb)2Da eine Quadratzahl immer ≥0\ge 0≥0 ist, gilt die Behauptung für alle beliebigen a,b≥1a,b\ge1a,b≥1.
Vielen dank für die ausführliche und gut nachvollziehbare Antwort!
Auf beiden Seiten quadrieren:
ln(a)+2ln(a)ln(b)+ln(b)4 \frac{ln(a)+2\sqrt{ln(a)ln(b)}+ln(b)}{4} 4ln(a)+2ln(a)ln(b)+ln(b) =ln((ab)1/2)
ln(a)+2ln(a)ln(b)+ln(b)4 \frac{ln(a)+2\sqrt{ln(a)ln(b)}+ln(b)}{4} 4ln(a)+2ln(a)ln(b)+ln(b) =1/2·ln(ab)
ln(a)+2ln(a)ln(b)+ln(b)4 \frac{ln(a)+2\sqrt{ln(a)ln(b)}+ln(b)}{4} 4ln(a)+2ln(a)ln(b)+ln(b) =ln(a)2 \frac{ln(a)}{2} 2ln(a) +ln(b)2 \frac{ln(b)}{2} 2ln(b) |·4
ln(a)+2ln(a)ln(b) \sqrt{ln(a)ln(b)} ln(a)ln(b) +ln(b)=2ln(a)+2ln(b)
Nach der Wurzel auflösen und nochmal quadrieren.
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