Was habe ich falsch gemacht?

Question

Hallo,

habe eine Frage zu dieser Aufgabe:

Es sei \( \left\{v_{1}, v_{2}\right\} \) eine Basis eines 2-dimensionalen \( \mathbb{R} \) -Vektorraums \( V \). Man untersuche, für welche Zahlen \( r, s \in \mathbb{R} \) auch die beiden Vektoren \( w_{1}=rv_{1}+v_{2} \) und \( w_{2}=v_{1}+s v_{2} \) eine Basis von \( V \) bilden.

 Bin so vorgegangen:

0=λ₁w₁+λ₂w₂   =>0=λ₁=λ₂
0=λ₁(rv₁+v₂)+λ₂(v₁+sv₂)
Untersuchen, für welche r,s die Vektoren linear abhängig sind:
0=(rv₁+v₂)+(v₁+sv₂)
0=(r+1)v₁+(s+1)v₂
Wenn eine Summe =0 ist und beide Summanden nicht negativ sein dürfen müssen beide Summenden=0 sein, d.h.:
0=r+1  =>r=-1
0=s+1 =>s=-1

D.h. dass die beiden Vektoren für r=-1 und s=-1 keine Basis bilden.
Aber in den Lösungen wurde anders vorgegangen, die Lambdas wurden nicht rausgenommen. Ich verstehe auch was gemacht wurde, aber dort wird zu einem anderen Endergebnis gekommen (bzw. zu anderen Lösungen für r und s)

Lösung

Überprüfe \( w_{1} \) und \( w_{2} \) auf lineare Unabhängigkeit.

Seien \( \lambda_{1}, \lambda_{2} \in \mathbb{R} \) mit
$$ \begin{aligned} \overrightarrow{0} &=\lambda_{1} w_{1}+\lambda_{2} w_{2} \\ &=\lambda_{1}\left(r v_{1}+v_{2}\right)+\lambda_{2}\left(v_{1}+s v_{2}\right) \\ &=\left(\lambda_{1} r+\lambda_{2}\right) v_{1}+\left(\lambda_{1}+\lambda_{2} s\right) v_{2} \end{aligned} $$

 

Die Vektoren \( w_{1} \) und \( w_{2} \) sind linear unabhängig, wenn diese Gleichung nur für \( \lambda_{1}=0 \) und \( \lambda_{2}=0 \) erfüllt ist.
Nach Voraussetzung sind \( v_{1} \) und \( v_{2} \) linear unabhängig, da \( \left\{v_{1}, v_{2}\right\} \) eine Basis von \( V \) ist. Also gilt \( \lambda_{1} r+\lambda_{2}=0 \) und \( \lambda_{1}+\lambda_{2} s=0 . \) Es folgt \( (1-r s) \lambda_{1}=0 \) und \( (1-r s) \lambda_{2}=0 . \) Wenn also \( r s \neq 1 \) ist, dann sind \( w_{1} \) und \( w_{2} \) linear unabhängig. Da der Vektorraum \( V \) Dimension 2 hat, ist \( \left\{w_{1}, w_{2}\right\} \) für \( r s \neq 1 \) dann auch eine Basis von \( V \).

Was passiert bei \( r s=1 ? \) Dann gilt
$$ w_{1}-rw_{2}=rv_{1}+v_{2}-r\left(v_{1}+s v_{2}\right)=v_{2}-r s v_{2}=\overrightarrow{0} $$
Die Vektoren sind daher nicht linear unabhängig und können auch keine Basis bilden

Was ist mein Fehler?

MfG

pizzaboss

Answer 1

Du hast eben nur einen der möglichen Fälle betrachtet.  (-1)*(-1) ist ja auch gleich 1,

aber es gilt eben für jedes Paar (r,s) mit dem Produkt 1.

Du sagst: Untersuchen, für welche r,s die Vektoren linear abhängig sind:

Genauer wäre: Untersuchen, für welche r,s die Vektoren

w1 und w2  linear abhängig sind:

Dazu musst du den Ansatz mit den Lambdas machen (Den du oben hattest)

und dann für w1 und w2 einsetzen, was gegeben ist. Und dann bekommst du

- wie in der Musterlösung - das Ergebnis, dass es nur dann lin. unabh. ist,

wenn rs≠1 gilt.