Wie stelle ich die Funktion um, um den Schnittpunkt der beiden Graphen zu erhalten?

Question

Aufgabe:

Die Funktion, f(x) = (1-x)e^(2-x) schneidet die Funktion, g(x) = bx, für b > 5,0. Berechne den Schnittpunkt.

Problem/Ansatz:

Ich habe die Funktionen schon gleichgestellt. Das ergibt bx = (1-x)e^(2-x). Nun ergibt sich mein Problem, das ich dort nicht weiterkomme. Ich habe schon allesmögliche versucht, mit substituieren, Logarithmusgesetze. Komme trotzdem nicht weiter.

Freue mich, wenn mir jemand unter die Arme greift!

Mfg,

Leon

Comments

Hallo Leon. Stelle uns hier mal die Original Fragestellung als Bild zur Verfügung?

Ich denke da muss es irgendwas geben was du evtl nicht beachtet hast.

Natürlich schneiden die Graphen sich für b > 5, allerdings auch für 0 < b ≤ 5.

Dann könnte man nicht den Schnittpunkt berechnen sondern höchstens den Schnittpunkt in Abhängigkeit von b.

Es wäre denke ich hilfreich die komplette Aufgabenstellung zu sehen. Gehören da Teilaufgaben dazu dann auch diese.

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Dies ist nur eine Teilaufgabe von einer Teilaufgabe. Ich kann gerne die komplette Frage hochladen. Ich denke aber das dies zu viel ist. Und ja, sie haben recht ich möchte in diesem Fall auch einen Schnittpunkt in Abhängigkeit von b erhalten.

Das war mein Fehler, dies nicht zu erwähnen.

LG

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Wie du selber richtig erkannt hast ist das selbst für ein bekanntes b nur numerisch lösbar. Für ein unbekanntes b ist das denke ich hoffnungslos.

Ja. Bitte stelle mal die Komplette Aufgabe zur Verfügung. Kann auch ein link sein wenn es eine veröffentlichte Aufgabe ist.

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Wichtig: Mir geht es nur um Aufgabe f) und als Ansatz habe ich, dass ich die beiden Schnittpunkte von den Graphen, in Abhängigkeit von b ausrechne. Diese dann in die Formel für den Abstand zweier Punkte um b auszurechnen.

Gegeben
sei die Funktion f mit f(x) = x·e2-x, x∈IR.
a)
Untersuchen Sie f auf Nullstellen sowie den Graphen von f auf
relative Extrempunkte und deren Art. Bestimmen Sie den Wendepunkt mit dem notwendigen Kriterium.
Berechnen Sie den Schnittpunkt der beiden Graphen von f
und f'.

c)
Geben Sie eine Vermutung für  aufgrund einer Wertetabelle mit drei sinnvollen Probe-einsetzungen an.

d)
Zeichnen Sie den Graphen von f nur mithilfe Ihrer bisherigen Ergebnisse in das vorgegebene Koordinatensystem ein (Anlage).

e)
Die beiden Graphen von f und f' und die Gerade zu x=2
schließen eine Fläche ein. Zeichnen Sie die Gerade zu x=2
in Ihr Koordinatensystem ein und schraffieren Sie die eingeschlossene Fläche. Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche.

f)
Die Graphen von f und f' schneiden aus jeder Geraden zu = bx,

b > 5,0, eine Strecke heraus. Ermitteln Sie, für welchen Wert von b diese Strecke eine maximale Länge hat und berechnen Sie diese Länge.

Begründen Sie ohne weitere Rechnungen, warum Ihr ermittelter Wert tatsächlich eine absolute Maximalstelle sein muss.

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Hallo Leon,

Gegeben sei die Funktion f mit f(x) = x·e2-x, x∈IR.

steht im Widerspruch zu Deiner ursprünglichen Frage, wo es heißt

f(x) = (1-x)e^(2-x)

wie heißt die Funktion $f(x)$? Setze bitte Klammern, lieber eine zuviel, als eine zuwenig. Aber in keinem der beiden Fälle kann man eine Schnittstelle  mit $bx$ allgemein berechnen - aber vielleicht ist das auch gar nicht notwendig!

c) Geben Sie eine Vermutung für  aufgrund einer Wertetabelle mit drei sinnvollen Probe-einsetzungen an.

... und das ist kein sinnvoller Satz :-/

Gruß Werner

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Die Graphen von f und f' schneiden aus jeder Geraden zu = bx, b > 5,0, eine Strecke heraus

Mit der Formulierung kann ich nichts anfangen.

Was ist damit gemeint ?

Ist damit der max Abstand zwischen f und f´
gemeint.

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Es geht hier bei nur um Punkt f), da habe ich den Schnittpunkt in Abhängigkeit von b schon mit f(x) berechnet. Jedoch fehlt mir noch der Schnittpunkt in Abhängigkeit von b mit f'(x). Daher kommt die Gleichung.

Ursprünglich wollte ich gar nicht die gesamte Aufgabe hochladen, deshalb habe ich die Funktionen umbenannt. Darum kamen dort Missverständnisse auf.

c) Geben Sie eine Vermutung für  aufgrund einer Wertetabelle mit drei sinnvollen Probe-einsetzungen an.

... und das ist kein sinnvoller Satz :-/

Hierzu, verstehe ich Ihr anliegen, jedoch sind dies die Aufgaben die ich bekommen habe und dies werde ich nochmal privat erfragen. Hier im Forum geht es mir wie gesagt nur um die Hilfe bei f).

Lg

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Was ist damit gemeint ?

Ist damit der max Abstand zwischen f und f´
gemeint.

Ja damit ist der maximale Abstand gemeint. Der maximale Abstand soll hier mit der Funktion g(x) = bx beschrieben. Jedenfalls habe ich dies so verstanden.

Lg

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Was ist damit gemeint ?

Wenn da 'Strecke' steht, dann gehe ich davon aus, es ist die Strecke, also $\sqrt{\Delta x^2 +\Delta y ^2}$. Evt. vereinfacht sich der Ausdruck dann so, dass er für ein allgemeines $b$ lösbar wird. Aber das ist nur eine kühne Vermutung.

Zunächts sollte Leon klarstellen, was $f(x)$ ist

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Was ist nun f von x ?

f(x) = (1-x)e^(2-x)
oder
f(x) =  x * e^(2-x)

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f(x) =  x * e^(2-x)

Dies ist f(x).

f'(x) = (1-x)e^(2-x)

Das ist die erste Ableitung.

Entschuldigung nochmal für die Missverständnisse.

Lg

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hier mein Matheprogramm

Was ist jetzt mit der Frage f.) gemeint ?
Der max Abstand zwischen f ( x ) und f´( x ) ?

mfg Georg

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hier mein Matheprogramm

Sie haben hier ein Minus in die Ableitung geschrieben, was das Ergebnis verfälscht, weshalb der Graph nicht richtig ist.

So wie ich das Verstanden habe, ist das

Der max Abstand zwischen f ( x ) und f´( x ) ?

richtig, also der Meinung bin ich aber halt nicht mit dem gleichen x sondern die Strecke zwischen f(x) und f'(x) soll maximal Werden, wobei die Strecke mit g(x) = bx definiert wird. Zudem ist b > 5.

Lg

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Hallo Lema,
im Forum ist das " du " und " Georg " üblicher.

Mein Matheprogramm hat die Ableitung
f ´( x ) = (1-x) * e^(2-x)
umgewandelt in
f ´( x ) =  - (x-1) * e^(2-x) 

was dann daselbe ist.

Der max Abstand ist bei x = 1.5.

Ich blicke bei der Aufgabe bei der Funktion
g ( x ) = bx vollständig nicht durch.
Ich schaue mir das Ganze morgen noch einmal
an.

Answer 1

Hallo Leon,

ich versuche mal 'ne Antwort. Der Graph von Georg oben ist korrekt. Das Minus ist durch die Umstellung der Differenz $(1-x)$ wieder aufgehoben. Das ganze sieht jetzt so aus:

Plotlux öffnen

f₁(x) = x·e^(2-x)f₂(x) = (1-x)·e^(2-x)f₃(x) = 5xZoom: x(-2…9) y(-2…9)

die grüne Gerade ist die Funktion $y=5x$. Jede weitere Gerade mit $b \gt 5$ wäre also noch steiler.

Die Strecke. die die beiden Funktionen  $f(x)$ und $f'(x)$ aus $y=bx$ heraus schneiden, wird maximal für $b \to \infty$. Dann steht die grüne Gerade quasi senkrecht und die Strecke $s$ ist $s= e^2$.

Nachtrag: rein formal könnte man es so argumentieren:

Der Schnittpunkt der Geraden $bx$ und der Funktion $f(x)$ berechnet sich aus $$\begin{aligned} bx &= x \cdot e^{2-x} && \implies x_1 = 0 \\ b &= e^{2-x} && \left| \, \ln \right. \\ \ln(b) &= 2-x && \left|\, +x-\ln(b) \right.\\ x_2 &= 2 - \ln(b) \end{aligned}$$Der zugehörige y-Wert ist dann $$y_2 = b(2- \ln(b))$$Dieser Wert ist positiv, solange $b \lt e^2$ ist. D.h. für Werte von $b$ im Intervall $(5 ,\, e^2)$ ist die Lösung $(x_2,y_2)$ relevant, da sie näher an der Kurve von $f'(x)$ liegt (s. der rote Graph oben). Wird $b \ge e^2$ so ist der Wert $(x_1,\, y_1) = (0,\,0)$ relevant, da dann $y_2 \le 0$ wird.

Der Schnittpunkt der Geraden $bx$ und der Ableitung $f'(x)$ berechnet sich aus$$bx = (1-x) e^{2-x}$$diese Gleichung ist (wie schon erwähnt) nur nummerisch zu lösen. Also stelle man eine Tabelle auf, mit konkreten Werten von $b$$$\begin{array}{r|rr|rr|r}b& x_{f'}& f'(x)& x_f& f(x)& s\\ \hline 5& 0.4781& 2.3906& 0.3906& 1.9528& 0.4465\\ 10& 0.3438& 3.4380& 0& 0& 3.4552\\ 20& 0.2274& 4.5478& 0& 0& 4.5534\\ 40& 0.1385& 5.5418& 0& 0& 5.5435\\ 80& 0.0787& 6.2928& 0& 0& 6.2933\end{array}$$es ist deutlich zu sehen, dass mit steigenden Werten von $b$ die berechnete Strecke $s = \sqrt{(x_{f'} - x_f)^2 + (f' - f)^2}$ immer weiter anwächst. Und der Grenzwert liegt offensichtlich bei $s = f'(x_{f'} = 0) = e^2 \approx 7,39$ bei $b \to \infty$.

wie soll ich dann auch noch begründen, dass dies eine absolute Maximalstelle ist?

aus der Anschauung und aus der Tabelle heraus. $b \to \infty$ gibt ein absolutes Maximum im Intervall $b=(5; \, \infty)$.

BTW.: ich meine, dass an der Aufgabe irgendwas nicht stimmt. Studierst Du an der Uni oder FH? Welches Fach?

Gruß Werner

Comments

Der Graph von Georg oben ist korrekt. Das Minus ist durch die Umstellung der Differenz (1−x)(1−x) wieder aufgehoben.

Achso, okay danke.

Die Strecke. die die beiden Funktionen  f(x)f(x) und f′(x)f′(x) aus y=bxy=bx heraus schneiden, wird maximal für b→∞b→∞. Dann steht die grüne Gerade quasi senkrcht und die Strecke ss ist s=e2s=e2.

Verstehe, dies kann ich nachvollziehen und verstehe ich.

Ich bedanke mich für eure Zeit und mühe!

Lg

Leon

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Guten Morgen,

ich habe immer noch ein Problem, da in der Fragestellung ja nach einem genauen Wert "b" gesucht wird. Da kann ich ja schlecht

g(x) = ∞x hinschreiben.

Die Länge der Strecke ist schonmal hilfreich, soweit war ich an sich auch schon. Jedoch komme ich immer noch nicht auf den gesuchten Wert "b".

Zudem, wie soll ich dann auch noch begründen, das dies eine absolute Maximalstelle ist?

Lg

Leon

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Hallo Leon,

ich habe meine Antwort dazu noch mal erweiter (s.o.).

Answer 2

Hallo Leon,
ich habe mir die anderen Kommentare und Antworten
nicht alle durchgelesen, dafür aber den Originalfragetext.

Ich meine
Eine Gerade g ( x ) = b * x
Diese schneidet die beiden Funktion f ( x ) und f ´( x ).
Die beiden Schnittpunkte werden berechnet.
Der Abstand der Schnittpunkte wird über den
Pythagoras berechnet

Als Schmankerl  soll noch das b berechnet werden bei dem der Abstand
am größten ist.

Geschrieben zu Siegen, 9:37 Uhr , 4.7 °, 29 % Luftfeuchte

mfg Georg

Comments

Dankeschön!

Das hilft mir weiter, nur kommen wir da zu meinem Problem ich verzweifle an der Umstellung bei f'(x) = bx.

Können sie mir dabei helfen?

Zudem müssen sie noch beachten, das gegeben steht b > 5.

Lg

Leon

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Schnittpunkt f ( x ) mit b * x
x * e^(2 - x) = b*x
e^(2 - x) = b  | ln ( )
2 - x = ln ( b )
x = 2 - ln ( b )

Mittlerweile halte ich nichts mehr von meinem
Ansatz.
Beim Sachverhalt der Frage fehlt mir
komplett der Durchblick.

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Genau das ist mein Problem.

Ich blicke auch null durch.

Lg

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Außerdem ist die Berechnung des Schnittpunkts
f ´( x ) = bx algebraisch nicht zu lösen.

Ich schlage vor dir nicht mehr mit dieser
Teilfrage den Kopf zu zerbrechen.

Die Experten hier im Forum haben auch
schon sehr komplizierte Antworten von
sich gegeben.

So kompliziert kann es gar nicht sein.

Warte ob die Frage im Unterricht besprochen
wird,

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Das mache ich. Danke sehr!

LG