(Komplexe) Nullstellen bestimmen: x4 + 1 = 0

Question

ich bin auf eine Aufgabe gestoßen, da heißt es:

"Das charakteristische Polynom (der homogenen Gleichung) lautet:

$\lambda^{4}+1=0$
bzw.
$\lambda^{4}=e^{\pi i}$

Wir haben also folgende Nullstellen:
$\frac{1+i}{\sqrt{2}}, \quad \frac{1-i}{\sqrt{2}}, \quad-\frac{1+i}{\sqrt{2}}, \quad-\frac{1-i}{\sqrt{2}}$."

Meine Frage: Wie kommt man vom vorletzten Schritt auf den letzten, also wie von der eulerschen Formel auf die schlussendlichen Nullstellen?

Answer 1

Du hast die Gleichung $$\lambda^4 = e^{\pi i}$$ zu lösen. Diese Gleichung hat vier Nullstellen und die Funktion ist periodisch. Es gilt $$e^{\pi i } = e^{\pi i + 2ik\pi }$$ Daraus ergibt sich $$\lambda = e^{ \frac{\pi}{4}i + \frac{\pi k i}{2} }$$ für $k = 0 .. 3$ Daraus ergeben sich die genannten Lösungen.

Comments

Vielen Dank, ich verstehe deine Ausführungen. Nur weiß ich immer noch nicht, wie sich daraus jetzt die Lösungen ergeben... kannst du mir hierbei bitte noch helfen?

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Nur weiß ich immer noch nicht, wie sich daraus jetzt die Lösungen ergeben... kannst du mir hierbei bitte noch helfen?

Es gilt die Umwandlung

e^(i·x) = COS(x) + SIN(x)·i

Hilft dir das jetzt weiter?

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$$e^\frac{\pi}{4}i = \frac{1}{\sqrt{2}} (1+i)$$ und $$e^\frac{\pi ki}{2} = 1,i,-1,i$$ je nach Wert von $k$

Daraus ergeben sich die Lösungen.

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Vielen Dank euch beiden! :)

Answer 2

Natürlich hätte man die Aufgabe auch mittels Koeffizientenvergleich lösen können. Dies ist aber viel aufwendiger und wir gerade bei höheren Potenzen über das umschreiben über die e-Darstellung viel schöner gelöst.

λ⁴ = -1
(a + b·i)⁴ = -1
a⁴ + 4·a³·(b·i) + 6·a²·(b·i)² + 4·a·(b·i)³ + (b·i)⁴ = -1
a⁴ + 4·a³·b·i - 6·a²·b² - 4·a·b³·i + b⁴ = -1
(a⁴ - 6·a²·b² + b⁴) + (4·a³·b - 4·a·b³)·i = -1
4·a³·b - 4·a·b³ = 4·a·b·(a + b)·(a - b) = 0 → b = a oder b = -a

a⁴ - 6·a²·b² + b⁴ = a⁴ - 6·a²·a² + a⁴ = - 4·a⁴ = -1 --> a = -√2/2 ∨ a = √2/2
a⁴ - 6·a²·b² + b⁴ = a⁴ - 6·a²·(-a)² + (-a)⁴ = - 4·a⁴ = -1 → gleiche Lösung

b = a
b = -√2/2 → b = -√2/2
b = √2/2 → b = √2/2

b = -a
b = -(-√2/2) --> b = √2/2
b = -(√2/2) → b = -√2/2

Daraus ergeben sich dann die 4 Lösungen:

λ = -√2/2 - √2/2·i ∨ λ = -√2/2 + √2/2·i ∨ λ = √2/2 - √2/2·i ∨ λ = √2/2 + √2/2·i

Answer 3

Die Frage ist doch: Von welchen komplexen Zahlen ist die vierte Potenz -1?

Sprich: Von welchen komplexen Zahlen der Betrag hoch 4 gleich 1 und das vierfache Argument  180° oder 540° oder 900° oder ...

Frag Moivre!

Answer 4

Hallo,

über die bekannte Formel:

z_k= |z₁|^(1/n) e ^(i (φ +2 kπ))/n  ;(k=0,1,2,3)

Aufgabe : z⁴ = -1

|z₁|= 1

tan(φ)= 0/(-1) =0

φ =π

n=4

--------->

z₀=eⁱ( π/4)

z₀= cos((π/4) + i sin(π/4))

z₀=√2/2 + i √2/2

usw.