Nullstellen von f(x)=8x*e-0,25 x^2) und f´(x) und Monotonie von f(x)

Question

f(x)=8x*e^{-0,25 x^2)}

Aufgabe: Nullstellen bestimmen von f(x) und von der ersten Ableitung und untersuche die Funktion mit f(x) auf Monotonie.

habe Satz von Nullprodukt benutzt

f(x) keine Nullstellen

f´(x) NS bei -1,06

Problem/Ansatz:

Ist das richtig?

Wie mache ich das mit der Monotonie?

Answer 1

Aloha :)

$$f(x)=8x\cdot e^{-0,25x^2}$$Die Exponentialfunktion ist immer positiv. Allerdings wird der Faktor $8x$ für $x=0$ zu $0$. Daher hat die Funktion eine Nullstelle bei $x=0$.

$$f'(x)=8e^{-0,25x^2}+8x\cdot e^{-0,25x^2}(-0,5x)=e^{-0,25x^2}\cdot(8-4x^2)$$Wie bereits gesagt, ist die Exponentialfunktion immer positiv. Allerdings wird der Faktor in Klammern für $x=\pm\sqrt2$ zu $0$.

Zur Beantwortung der Frage nach der Monotonie, musst du das Vorzeichen der ersten Ableitung betrachten. Ist $f'(x)>0$, so ist die Funktion streng monoton wachsend. Ist $f'(x)<0$, so ist die Funktion streng monoton fallend.

Plotlux öffnen

f₁(x) = e^(-0,25x²)·(8-4x²)Zoom: x(-8…8) y(-4…9)

Da wir oben die Nullstellen der ersten Ableitung bestimmt haben und $f'(0)=8>0$ ist, ist $f'(x)$ zwischen den beiden Nullstellen postitiv, also die Funktion $f(x)$ selbst streng monoton wachsend. Links der ersten und rechts der zweiten Nullstelle ist $f'(x)<0$ und die Funktion $f(x)$ selbst streng monoton fallend.

Comments

Vielen Dank für die Antwort. Was muss ich dann für f´(x) einsetzen? 0?

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Du weißt, dass bei den Nullstellen $x=-\sqrt2$ und $x=+\sqrt2$ die Ableitung ihr Vorzeichen wechselt. Wir müssen nun entscheiden, wo die Ableitung negativ bzw. positiv ist.

Zwischen den beiden Nullstellen liegt z.B. $x=0$ und es ist $f'(0)=8>0$. Daher ist die Ableitung zwischen den beiden Nullstellen positiv.

Links von der Nullstelle $-\sqrt2$ liegt z.B. $x=-2$ und es ist $f'(-2)\approx-2,9<0$. Daher ist die Abbildung links von der Nullstelle $-\sqrt2$ negativ.

Rechts von der Nullstelle $\sqrt2$ liegt z.B. $x=2$ und es ist $f'(2)\approx-2,9<0$. Daher ist die Abbildung auch rechts von der Nullstelle $\sqrt2$ negativ.

Answer 2

habe Satz von Nullprodukt benutzt

Richtig

f(x) keine Nullstellen

Falsch

f´(x) NS bei -1,06

Falsch

Wie mache ich das mit der Monotonie?

Wenn die Abeitung eine Nullstelle mit Vorzeichenwechesel hat, dann ist die Funktion nicht monoton. Ansonsten ist sie monoton.

Answer 3

Hallo,

ich komme auf eine Nullstelle bei x = 0

und auf Extremstellen bei $x=-\sqrt{2}\quad x=\sqrt{2}$

Zum Monotonieverhalten untersuche den Graph von f'(x) (orange) auf Vorzeichenwechsel.

Gruß, Silvia