Allgemeine Lösung der Differentialgleichung y′ =ex+y

Question

^XWie lautet die allgemeine Lösung der Differentialgleichung?

 y′ = e^x+y

Ich komme bis zu dem Punkt das:$\int\limits_{}^{}$ $\frac{dy}{e^y}$ =$\int\limits_{}^{}$ e^x dx . Nun weiß ich nicht warum man beim integrieren: $\int\limits_{}^{}$ $\frac{1}{-e^y}$ = $\frac{1}{e^x+C}$ erhält speziell verstehe ich auf der linken Seite das - und auf der rechten Seite den Bruch.

Ich freue mich über jede Hife.

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Auch diese Aufgabe hast du nicht ordentlich abgeschrieben. Kontrolliere die ersten Zeilen nochmal.

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Sorry, habe ein Problem beim kopieren, wird dann immer gelöscht :)

Answer 1

$$\int_{}^{}\frac{dy}{e^y}=\int_{}^{}{e^{-y}}dy=-{e^{-y}}+D=\frac{-1}{e^y}+D$$

Und das Int. über e^x ist ja e^x+C , also hast du

$$\frac{-1}{e^y}+D=e^x + C$$

Int. konstante reicht ja auf einer Seite , also

$$\frac{-1}{e^y}=e^x + C$$

Jetzt auf beiden Seiten den Kehrwert bilden

$${-e^{-y}}=\frac{1}{e^x + C }$$

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Vielen Dank, ich glaube ich habe es verstanden.

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Und wenn Du zwei Konstanten zusammenfasst heißt die neue dann E und nicht immer noch C.

Außerdem kannst Du nach y auflösen.

Answer 2

Hallo,

meine Berechnung:

dy/e^y =e^x dx ist richtig

∫ e^(-y)dy= ∫e^x dx  --------->linkes Integral : substituiere z= -y

- e^(-y) = e^x +C

----------<

Lösung:

y= -ln(-e^x -C)

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So habe ich es auch eigentlich gerechnet, jedoch habe ich auch die Lösungen bekommen und die lautet y= ln(-$\frac{1}{e^x + c}$ ). Ich weiß nur nicht wie man auf den Bruch kommen soll.

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also ich kann Dir nur sagen das mein Ergebnis richtig ist.