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Ich soll das Volumen bestimmen, das entsteht, wenn die Funktion y=x²+2x-3 von y=-3 bis y=5 um die y-Achse rotiert wird.

Ich kenne das bisher nur für Rotationen um die x-Achse, kann mir bitte jemand helfen, wie ich eine Rotation um die y-Achse durchführe?

Bitte um Hilfe

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Aloha :)

Es ist \(f(x)=x^2+2x-3=(x-1)(x+3)\). Stell dir den Rotationskörper aus Kreisen zusammengesetzt vor, die senkrecht zur y-Achse stehen und deren Mittelpunkt auf der y-Achse liegt. Der Radius eines solchen Kreises ist \(x\), seine Fläche ist \(\pi\,x^2\). Über diese Kreise summieren bzw. integrieren wir entlang der y-Achse.$$V=\pi\int\limits_{-3}^5x^2\,dy$$Diese Integration über \(dy\) können wir auf eine über \(dx\) zurückführen. Wegen$$f(0)=-3\quad;\quad f(2)=5$$ erfolgt die Integration dann von \(0\) bis \(2\):

$$V=\pi\int\limits_{0}^2x^2\,\frac{dy}{dx}\,dx=\pi\int\limits_{0}^2x^2\,(2x+2)\,dx=\pi\int\limits_{0}^2(2x^3+2x^2)\,dx$$$$\phantom{V}=\pi\left[\frac{2x^4}{4}+\frac{2x^3}{3}\right]_0^2=\pi\left(\frac{32}{4}+\frac{16}{3}\right)=\frac{40}{3}\,\pi$$

Avatar von 148 k 🚀

Sie haben hier eine Substitution durchgeführt mit dy=dy/dx*dx=f'(x)*dx.

Habe ich das richtig verstanden?

Ja, genauso ist es:$$dy=\frac{dy}{dx}\,dx=f'(x)\,dx$$

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Was ist den der Definitionsbereich der Funktion. Welcher Teil des Graphen rotiert um die y-Achse?

~plot~ x^2+2x-3;-3;5;[[-8|8|-6|6]] ~plot~

Avatar von 477 k 🚀

Sorry, das habe ich vergessen zu schreiben, der rechte Teil der Parabel ist gemeint. Der ist im Buch schraffiert.

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