Aloha :)
Es ist \(f(x)=x^2+2x-3=(x-1)(x+3)\). Stell dir den Rotationskörper aus Kreisen zusammengesetzt vor, die senkrecht zur y-Achse stehen und deren Mittelpunkt auf der y-Achse liegt. Der Radius eines solchen Kreises ist \(x\), seine Fläche ist \(\pi\,x^2\). Über diese Kreise summieren bzw. integrieren wir entlang der y-Achse.$$V=\pi\int\limits_{-3}^5x^2\,dy$$Diese Integration über \(dy\) können wir auf eine über \(dx\) zurückführen. Wegen$$f(0)=-3\quad;\quad f(2)=5$$ erfolgt die Integration dann von \(0\) bis \(2\):
$$V=\pi\int\limits_{0}^2x^2\,\frac{dy}{dx}\,dx=\pi\int\limits_{0}^2x^2\,(2x+2)\,dx=\pi\int\limits_{0}^2(2x^3+2x^2)\,dx$$$$\phantom{V}=\pi\left[\frac{2x^4}{4}+\frac{2x^3}{3}\right]_0^2=\pi\left(\frac{32}{4}+\frac{16}{3}\right)=\frac{40}{3}\,\pi$$
