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Aufgabe:

inem Rechteck mit den Seitenlängen a und b soll das flächenkleinste gleichschänklige Dreieck wie in nebenstehender Abbildung umgeschrieben werden. Berechne die Seitenlänge des Dreiecks. 


Problem/Ansatz:

Ich habe alles versucht um dieses Beispiel zu lösen, habe es aber nicht geschafft. Ich bin an dem Beispiel wirklich

Ich glaube, dass die Nebenbedingung A:H=a:(H-b) sein muss (Strahlensatz).

Kann mir jemand bitte das Beispiel erklären. Ich brauche das gelöste Beispiel bis spätestens 2. April. Danke schon ihm Voraus.

Liebe Grüße,

 Kathrin

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Hallo

"wie in nebenstehender Abbildung" die kennen wir nicht, also schick sie oder beschreib sie genau

Gruß lul

IMG_1595.jpeg

Text erkannt:

\( A \)

1 Antwort

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Beste Antwort

Hallo Katrin,

Ich glaube, dass die Nebenbedingung A:H=a:(H-b) sein muss (Strahlensatz).

das ist richtig. \(A\) ist die Basisseite des Dreiecks und \(H\) seine Höhe. Die Hauptbedingung ist die Fläche \(F_\triangle\) des Dreiecks, welche minimiert werden soll - also $$F_\triangle = \frac 12 AH$$löse die Nebenbedingung nach \(A\) auf$$\text{NB: } \space \frac AH = \frac a{H-b} \implies A = \frac{aH}{H-b}$$und setze das \(A\) in die Hauptbedingung ein. Anschließend nach \(H\) ableiten und zu \(0\) setzen:$$\begin{aligned} F_\triangle &= \frac 12 AH \\ &= \frac 12 \frac{aH}{H-b} H \\ \frac{\text dF_\triangle}{\text dH} &= \frac 12 \frac{2aH(H-b) - aH^2}{(H-b)^2} \\ &= \frac12 \frac{aH^2 - 2abH}{(H-b)^2} \to 0 \\ \implies 0 &= aH(H - 2b) \\ \implies H &=2b, \quad A = 2a \end{aligned}$$Die Seite \(A\) ist somit \(A=2a\) und die Seitenlänge der Schenkel kannst Du über den Pythagoras berechnen.

Falls etwas unklar ist, so frage bitte nach.

PS.: habt Ihr Lösung von Optimierungsproblemen nach Lagrange schon gelernt?

Avatar von 48 k

Nein, haben wir noch nicht gelernt.

Ein großes Danke für deine Erklärung!!

LG Kathrin

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