Seitenlänge von Dreieck berechnen- Extremwertazfgabe

Question

Aufgabe:

inem Rechteck mit den Seitenlängen a und b soll das flächenkleinste gleichschänklige Dreieck wie in nebenstehender Abbildung umgeschrieben werden. Berechne die Seitenlänge des Dreiecks. 

Problem/Ansatz:

Ich habe alles versucht um dieses Beispiel zu lösen, habe es aber nicht geschafft. Ich bin an dem Beispiel wirklich

Ich glaube, dass die Nebenbedingung A:H=a:(H-b) sein muss (Strahlensatz).

Kann mir jemand bitte das Beispiel erklären. Ich brauche das gelöste Beispiel bis spätestens 2. April. Danke schon ihm Voraus.

Liebe Grüße,

 Kathrin

Comments

Hallo

"wie in nebenstehender Abbildung" die kennen wir nicht, also schick sie oder beschreib sie genau

Gruß lul

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Text erkannt:

$A$

Answer 1

Hallo Katrin,

Ich glaube, dass die Nebenbedingung A:H=a:(H-b) sein muss (Strahlensatz).

das ist richtig. $A$ ist die Basisseite des Dreiecks und $H$ seine Höhe. Die Hauptbedingung ist die Fläche $F_\triangle$ des Dreiecks, welche minimiert werden soll - also $$F_\triangle = \frac 12 AH$$löse die Nebenbedingung nach $A$ auf$$\text{NB: } \space \frac AH = \frac a{H-b} \implies A = \frac{aH}{H-b}$$und setze das $A$ in die Hauptbedingung ein. Anschließend nach $H$ ableiten und zu $0$ setzen:$$\begin{aligned} F_\triangle &= \frac 12 AH \\ &= \frac 12 \frac{aH}{H-b} H \\ \frac{\text dF_\triangle}{\text dH} &= \frac 12 \frac{2aH(H-b) - aH^2}{(H-b)^2} \\ &= \frac12 \frac{aH^2 - 2abH}{(H-b)^2} \to 0 \\ \implies 0 &= aH(H - 2b) \\ \implies H &=2b, \quad A = 2a \end{aligned}$$Die Seite $A$ ist somit $A=2a$ und die Seitenlänge der Schenkel kannst Du über den Pythagoras berechnen.

Falls etwas unklar ist, so frage bitte nach.

PS.: habt Ihr Lösung von Optimierungsproblemen nach Lagrange schon gelernt?

Comments

Nein, haben wir noch nicht gelernt.

Ein großes Danke für deine Erklärung!!

LG Kathrin