Mathe-Übung, Gleichungen auflösen und Wert berechnen

Question

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Wir haben heute neue Übunbsblätter bekommen. Auf einem gibt es eine Zusatzaufgabe, die 12 Punkte extra bringt. Wir haben schon über Skype darüber geknobelt, haben aber keine wirkliche Idee. Deswegen stelle ich die Aufgabe mal hier ein, in der Hoffnung das jemand eine Idee hat.

Gegeben sind die Gleichungen:

ax+by=5

ax²+by²=10

ax³+by³=50

ax⁴+by⁴=130

und wir sollen das berechnen:

W=13*(x+y-xy)-120*(a+b)

Wenn ihr das nicht hinkriegt, ist nicht so schlimm. Einer von uns kann ganz gut programmieren, der veruscht das gerade mit dem Rechner zu lösen. Aber eine Rechnung wäre natürlich besser.

Danke schön!!!

Comments

Für WolframAlpha muss man nicht programmieren können.

Answer 1

Aloha :)

Lol, die Aufgabe ist sehr schön... und wie es sich gehört, ist die Antwort $42$ !!!

Also, du hast die folgenden Gleichungen gegeben:$$\begin{array}{l}ax&+&by&=&5\\ax^2&+&by^2&=&10\\ax^3&+&by^3&=&50\\ax^4&+&by^4&=&130\end{array}$$Und sollst nun den folgenden Wert $W$ bestimmen:$$W=13(x+y-xy)-120(a+b)$$Ich musste ein wenig rumprobieren, bis ich den "Trick" gesehen habe. Wenn du alle Gleichungen, bis auf die letzte, mit $(x+y)$ multiplizierst, kannst du interessante Umformungen machen:

$$5(x+y)=(ax+by)(x+y)=ax^2+bxy+axy+by^2$$$$\phantom{5(x+y)}=\underbrace{(ax^2+by^2)}_{=10}+xy(a+b)=10+xy(a+b)$$$$10(x+y)=(ax^2+by^2)(x+y)=ax^3+by^2x+ax^2y+by^3$$$$\phantom{10(x+y)}=\underbrace{(ax^3+by^3)}_{=50}+xy\underbrace{(ax+bx)}_{=5}=50+5xy$$$$50(x+y)=(ax^3+by^3)(x+y)=ax^4+by^3x+ax^3y+by^4$$$$\phantom{10(x+y)}=\underbrace{(ax^4+by^4)}_{=130}+xy\underbrace{(ax^2+by^2)}_{=10}=130+10xy$$Wir fassen zusammen, was wir bis jetzt haben:$$\begin{array}{l}10&+&xy\cdot(a+b)&=&5(x+y)\\50&+&5xy&=&10(x+y)\\130&+&10xy&=&50(x+y)\end{array}$$Aus der doppelten 2-ten und der 3-ten Gleichung berechnen wir $(x+y)$:$$\left.\begin{array}{l}100&+&10xy&=&20(x+y)\\130&+&10xy&=&50(x+y)\end{array}\right\}\;\;\Rightarrow\;\;30=30(x+y)\;\;\Rightarrow\;\;\underline{(x+y)=1}$$Das setzen wir in die 2-te Gleichung ein:$$50+5xy=10(x+y)=10\;\;\Rightarrow\;\;5xy=-40\;\;\Rightarrow\;\;\underline{xy=-8}$$Mit diesen Ergebnissen gehen wir in die erste Gleichung:$$10+xy\cdot(a+b)=5(x+y)\;\;\Rightarrow\;\;10-8(a+b)=5\;\;\Rightarrow\;\;\underline{(a+b)=\frac{5}{8}}$$

Jetzt haben wir alles zusammen, um das $W$ von oben zu berechnen:$$W=13(\underbrace{x+y}_{=1}-\underbrace{xy}_{=-8})-120(\underbrace{a+b}_{=5/8})=13\cdot9-120\cdot\frac{5}{8}=117-75=\boxed{42}$$

Comments

Sehr klar und verständlich erklärt... besser geht es wohl nicht mehr.

Vielen lieben Dank dafür!!!

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Ich dachte, dass du "Die Aufgabe ist lösbar!" schreibst.  ;-)

Beeindruckend, dass du bei solchen Aufgaben einen im Nachhinein einfach anmutenden Weg findest. Und dann noch alles übersichtlich geTeXtet.

Nicht gesucht, aber gefunden:

$a \approx-0.503489, \quad b \approx 1.12849, \quad x \approx-2.37228, \quad y \approx 3.37228$

Answer 2

Auf jeden Falls ist das Ergebnsi 42. Ist zwar kein Wolfram aber ein CAS

Comments

Oha, keine Ahnung, was du da berechnet hast aber schon mal gut zu wissen das 42 rauskommt. Danke schön!