Ich kenne 3 Methoden zur Bestimmung eines Konfidenzintervalls für den Anteilswert.
1. Methode
\( p \) ist Lösung der Gleichung $$ (n+c^2) p^2 - (2k +c^2) p +\frac{k^2}{n} = 0 $$
Voraussetzung ist hier das \( n p ( 1- p) > 9 \) gilt, was für \( n = 100 \) und \( k = 4 \) aber nicht gilt.
Hier käme \( [ 0.018 , 0.086 ] \) heraus.
2. Methode (Normalverteilung)
Hier gilt bei \( k \ge 50 \) und \( n-k \ge 100 \) $$ \frac{k}{n} - \frac{c}{\sqrt{n}} \sqrt{\frac{k}{n} \left(1 - \frac{k}{n} \right) } \le p \le \frac{k}{n} + \frac{c}{\sqrt{n}} \sqrt{\frac{k}{n} \left(1 - \frac{k}{n} \right) } $$
Die Voraussetzung ist aber hier auch nicht erfüllt.
Ergebnis wäre \( [0.008 , 0.072 ] \)
3. Methode (Exakte Methode)
$$ (1) \quad \sum_{i=k}^n p^i (1-p)^{n-i} = \frac{1}{2}(1-\gamma) $$ $$ (2) \quad \sum_{i=0}^k p^i (1-p)^{n-i} = \frac{1}{2}(1-\gamma) $$ mit \( \gamma\) = Konfidenzniveau, hier \( 0.9 \)
und hier ist das Ergebnis \( [0.014 , 0.089 ] \)
