Gleichungen überhaupt lösbar?

Question

Ich habe zwei Gleichungen und zwei Variablen, jedoch bekomme ich das das Ganze nicht gelöst.

g1:  c/(k+(c/3-k)*e^-c*10)=113

g2:  c/(k+(c/3-k)*e^-c*70)=844617

brauche bei beiden mindestens 10 signifikante Stellen soweit vorhanden (k müsste sehr sehr klein sein)

Comments

Das ist alles andere als ein LGS und bei einer derart unklaren Frageformulierung solltest du vielleicht die ursprüngliche Aufgabe im Wortlaut nachreichen!

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Letztendlich lautet die Aufgabe:

Du hast zwei Gleichungen g1,g2. Finde c,k mit 10 signifikanten Stellen falls vorhanden.

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Die eigentliche Aufgabe ist nach wie vor völig unklar!

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Ich kann auch nicht mehr machen als die Aufgabe abzuschreiben. Ich muss anscheinend irgendwie c und k finden, egal wie.

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Ok, dann entschuldige bitte meine Ungeduld. Das Gleichungssystem lässt sich aber mit der gebotenen Genauigkeit nicht so einfach per Hand ausrechnen. Welche Hilfsmittel stehen denn zur Verfügung?

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Kein Problem. Ich denke mal alle beliebigen, ist zumindest nichts angegeben. Danke für deine Bemühungen.

Answer 1

Aloha :)

Wir betrachten zunächst $g_1$:$$\left.\frac{c}{k+\left(\frac{c}{3}-k\right)e^{-10c}}=113\quad\right|\;\text{links mit }k\text{ kürzen}$$$$\left.\frac{c/k}{1+\left(\frac{1}{3}\cdot\frac{c}{k}-1\right)e^{-10c}}=113\quad\right|\;\text{Setze }x:=\frac{c}{k}$$$$\left.\frac{x}{1+\left(\frac{x}{3}-1\right)e^{-10c}}=113\quad\right|\;\text{Kehrwert}$$$$\left.\frac{1+\left(\frac{x}{3}-1\right)e^{-10c}}{x}=\frac{1}{113}\quad\right|\;\cdot x$$$$\left.1+\left(\frac{x}{3}-1\right)e^{-10c}=\frac{x}{113}\quad\right|\;-1$$$$\left.\left(\frac{x}{3}-1\right)e^{-10c}=\frac{x}{113}-1\quad\right|\;\text{links und rechts Brüche auf Hauptnenner}$$$$\left.\frac{x-3}{3}\cdot e^{-10c}=\frac{x-113}{113}\quad\right|\;\cdot\frac{3}{x-3}$$$$\left.e^{-10c}=\frac{x-113}{113}\cdot\frac{3}{x-3}\quad\right.$$Dieselben Schritte wiederholen wir analog für $g_2$ und erhalten:$$e^{-70c}=\frac{x-844617}{844617}\cdot\frac{3}{x-3}$$Daraus erhalten wir eine Bestimmungsgleichung für $x$:$$\left(\frac{x-113}{113}\cdot\frac{3}{x-3}\right)^7=\left(e^{-10c}\right)^7=e^{-70c}=\frac{x-844617}{844617}\cdot\frac{3}{x-3}$$$$\left(\frac{x-113}{113}\right)^7\cdot\left(\frac{3}{x-3}\right)^6=\frac{x-844617}{844617}$$Diese Gleichung ist wolframalpha-lösbar:$$x_1=0\quad;\quad x_2\approx5,82050722442\quad;\quad x_3\approx844619,2085219$$Wegen $x=\frac{c}{k}$ und $c\ne0$ fällt die Lösung $x_1=0$ weg. Aus den beiden anderen Lösungen können wir 2 Lösungen für $c$ bestimmen:$$e^{-10c}=\frac{x_2-113}{113}\cdot\frac{3}{x_2-3}\approx -1,00885161183<0$$$$e^{-10c}=\frac{x_3-113}{113}\cdot\frac{3}{x_3-3}\approx 0,02654521495574\quad\checkmark$$Die negative Lösung für $x_2$ scheidet aus, weil die $e$-Funktion immer $>0$ ist. Aus der dritten Lösung erhalten wir:$$c=-0,1\ln\left(e^{-10c}\right)=-0,1\ln(0,02654521495574)$$$$\underline{c\approx0,362890577519289}$$Oben hatten wir $x=c/k$ gesetzt, sodass wir nun finden:$$\underline{k=\frac{c}{x}\approx4,29649922542437\cdot10^{-07}}$$

Comments

Ein fettes Dankeschön.

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Angenommen ich habe in einer weiteren Aufgabe nun noch mehr Werte auf die die Funktion mit k und c später grob passen muss.

f(t)= c/(k+(c/3-k)*e-c*t)=x

Mit den Werten:

f(10)=113

f(20)=362

f(30)=1000

f(40)=6819

f(50)=37971

f(60)=191217

f(70)=844617

Wie sind k und c dann?

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Aloha :)

Wir hatten oben 2 Gleichungen, für $f(10)$ und $f(70)$, sowie 2 Unbekannte $c$ und $k$. Das konnten wir eindeutig lösen. Wenn die gefundenen Werte für $k$ und $c$ auch auf die Werte von $f(20)$ oder die anderen passen würden, wäre das Zufall.

Wie erwartet, passen sie nicht. Das heißt, wenn die Form der Gleichung so erhalten bleibt, werden $c$ und $k$ von dem Argument $t$ der Funktion $f$ abhängig. d.h. $c=c(t)$ und $k=k(t)$. Das wird dann richtig aufwändig zu berechnen.

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Du hast nicht zufällig zu viel Zeit und kannst mir helfen? ;) Ich bin eine echte Niete wenn es um sowas geht..

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Die Lösung kann beliebig komplex werden und ist vermutlich auch nicht eindeutig. Man könnte ein Python-Skript schreiben, das die Arbeit übernimmt. Dafür fehlt mir allerdings aktuell die Zeit...

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Ich hab leider kaum Ahnung vom Programmieren, und noch weniger von Python. Schade dass du nicht genug Zeit hast, falls doch kannst es ja mal versuchen. Danke für deine Bemühungen