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Aufgabe:

Habe bereits eine ähnliche Aufgabe gestellt, aber komme bei dieser ebenfalls nicht weiter. Kann mir jemand Tipps zur Vorgehensweiße bei Aufgaben dieser Art geben?

04 \int\limits_{0}^{4}  x3x2+9 \frac{x^3}{x^2 + 9}



Problem/Ansatz:

Da der Nenner im reellen Zahlenbereich keine Nullstellen hat, kann ich die Partialbruchzerlegung hier nicht anwenden oder?

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Aloha :)

Der Trick f(x)f(x)dx=lnf(x)+C\int\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+C ist sehr nützlich ;)I=04x3x2+9dx=04x3+9x9xx2+9dx=04(x3+9xx2+99xx2+9)dxI=\int\limits_0^4\frac{x^3}{x^2+9}dx=\int\limits_0^4\frac{x^3+9x-9x}{x^2+9}dx=\int\limits_0^4\left(\frac{x^3+9x}{x^2+9}-\frac{9x}{x^2+9}\right)dxI=04xdx92042xx2+9dx=[x22]0492[lnx2+9]04\phantom{I}=\int\limits_0^4x\,dx-\frac{9}{2}\cdot\int\limits_0^4\frac{2x}{x^2+9}dx=\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4-\frac{9}{2}\left[\ln\left|x^2+9\right|\right]_0^4I=16292(ln(25)ln(9))=892ln(259)3,402569\phantom{I}=\frac{16}{2}-\frac{9}{2}\left(\ln(25)-\ln(9)\right)=8-\frac{9}{2}\ln\left(\frac{25}{9}\right)\approx3,402569

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warum muss ich hierbei bei der Substitution die Grenzen nicht ändern?

Hier wurde an keiner Stelle klassisch substituiert.

Man hat lediglich 0 als 9x-9x geschreiben.

Achso stimmt, habe bei meiner Rechnung x2 + 9 durch z ersetzt, aber ist ja gar nicht nötig, danke!

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Ist der Zählergrad größer als der Nennergrad sollte man als erstes eine Polynomdivision machen. Dabei hilft dir

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynomdivision.htm


(x3      ) : (x2 + 9)  =  x  Rest  -9x 
x3  + 9x
—————————
      - 9x

Also ist

f(x) = x3 / (x2 + 9) = x - 9x / (x2 + 9)

Weil es günstig ist wenn sich die Ableitung vom Nenner im Zähler befindet zieht man den Faktor 9/2 vor den Bruch und erhält

f(x) = x - 9/2 * 2x / (x2 + 9)

Diesen Term kann man jetzt ohne Probleme Integrieren

F(x) = 1/2 * x2 - 9/2 * ln(x2 + 9) + C

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Hallo,

1.Substituiere  z= x2+9

2. Allgemein gilt: (A-B)/C= A/C -B/C   ,spalte das Integral in 2 Integrale auf

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