Frage zur Vandermondschen Determinanten

Question

Aufgabe:

Die Aufgabe kommt aus einen Übungsblatt

Aufgabe \( 1(8+4 \) Punkte)
(a) Seien \( n \in \mathbb{N}_{>0} \) und \( x_{1}, \ldots, x_{n} \in \mathbb{C} . \) Berechnen Sie die Determinante (sogenannte Vandermonde-Determinante) der Matrix
$$ A\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{1}^{n-1} & x_{2}^{n-1} & \cdots & x_{n}^{n-1} \end{array}\right) \in M_{n}(\mathbb{C}) $$
[Hinweis: Induktion.]
(b) Sei \( n \in \mathbb{N}_{>0} \). Bestimmen Sie alle Lösungen \( x \in \mathbb{R} \) der Gleichung
$$ \operatorname{det}\left(\begin{array}{cccccc} 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\ x & 2 & 3 & \ldots & n & n+1 \\ x^{2} & 2^{2} & 3^{2} & \ldots & n^{2} & (n+1)^{2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ x^{n} & 2^{n} & 3^{n} & \ldots & n^{n} & (n+1)^{n} \end{array}\right)=0 $$

Problem/Ansatz:

Gerade hab ich die Lösung zur a) gefunden indem ich Induktion gemacht habe, und bin überzeugt, dass die Lösung korrekt ist. Ich habe mehr Probleme die Nullstellen bei der b) zu finden.

Für die Lösung der Aufgabe 1 hab ich die Matrix transponiert und sie in Zeilenstufen-Form gebracht habe und zunächst die 2x2 Matrix deren Determinante ausgerechnet habe. Welches natürlich x₂ - x₁ ist. Ich habe durch ausklammern in der Induktion und aus der Induktionsvorausetzung \( \prod_{1 ≤ i < j ≤ n}^{}{(xj - xi)} \). Ich würde gerne wissen ob ich da richtig liege.

Vielen Dank für die Hilfe im Voraus

Answer 1

a) ist richtig und bei b) ist das doch die Vandermondesche Matrix mit

x₁,..,x_n+1 wobei  x₁=x und x₂=2 x₃=3 …. x_n+1=n+1 sind.

Gemäß a) ist die Det. ja ein Produkt von Faktoren der Art x_i-x_j .

Wenn xi und xj irgendwelche der x2 bis xn+1 sind, ist der

entsprechende Faktor sicher nicht 0 und in den Fällen

mit i=1 bekommst du die Faktoren

(x-1)*(x-2)*…(x-(n+1))    und die liefern genau die

Nullstellen  1, 2 etc. bis n+1.