Wie beweisen: x² < y² => x < y

Question

Gegeben ist die oben genannte, allgemeingültige Implikation. Außerdem wird gesagt, dass x und y beide größer oder gleich 0 sein müssen. Wir haben jetzt 3 Umformungsregeln kennen gelernt:


a < b <=> a + c < b + c

a < b <=> ac < bc für c > 0

a < b <=> ac > bc für c < 0


Wenn ich jetzt umforme:


x² < y²                                      | Wurzel ziehen

| x < y |                                     | Fälle auflösen. Da laut Kontext x > 0 ist, fällt der 2. Fall raus.

x < y


Ist das so als Beweisführung ausreichend..? und wenn ja, wie kann ich daraus folgern, dass x < y => √x < √y stimmt?

Comments

(-5)^2 < (-6)^2 aber -5 > -6.

Was genau sind die Vorgaben für die zu beweisende Implikation?

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Na, dass x,y ≥ 0

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Diese Implikation ist nicht allgemeingültig. Sie ist vielmehr gültig, wenn x und y größer gleich 0 sind.

Answer 1

Aus der zweiten Umformungsregel lässt sich leicht die Regel
\(a\leq b\Rightarrow ac\leq bc\) for \(c\geq 0\quad (*)\)
herleiten.

Ich zeige \(\forall x,y\geq 0\) gilt \(x^2<y^2\Rightarrow x<y\), indem ich die
dazu äquivalente Kontraposition beweise:
\(\forall x,y\geq 0\) gilt \(x\geq y\Rightarrow x^2\geq y^2\):
Nach Regel \((*)\) gilt:

\(x\geq y\Rightarrow x^2\geq xy\,\wedge\, xy\geq y^2\), also \(x^2\geq y^2\).