(a) Seien a=b∈X, dann gilt ε : =d(a,b)>0. Es ist durch die Dreiecksungleichung klar, dass kein Punkt in beiden Mengen B0.5⋅ε(a) und B0.5⋅ε(b) liegen kann, das sind also bereits zwei offene disjunkte Mengen, die a und b trennen.
(b) Für jeden Hausdorff-raum X ist die "Diagonale" ΔX : ={(x,x)∣x∈X} abgeschlossen als Teilmenge von X×X (das ist eine einfache Übung). Definiere (f,g) : X→Y×Y durch (f,g)(x)=(f(x),g(x)). Dann ist deine Menge einfach nur (f,g)−1(ΔY), das Urbild einer abgeschlossenen Menge, damit abgeschlossen. (Ich habe hier die Rollen von X und Y vertauscht für bessere Lesbarkeit).