Umkehraufgabe 2 (Steckbrief)

Question

Auch hier bekomme ich seit Tagen nicht das richtige Ergebnis, ich bin eine Niete:(

Um die Ortschaft D, die an der geraden Straße durch A(0 | 35) und B(35|0) liegt, wird eine Umfahrungsstraße gebaut. Diese soll in A und B tangential in die alte Straße münden und durch den Punkt C(\frac{35}{2}|\frac{35}{4}) gehen.


Bestimme die Funktionsgleichung 4. Grades, welche der Trasse der Umfahrungsstraße entspricht und gib hier den Koeffizienten von x³ ein. (2 Stellen hinter dem Komma)

Answer 1

Um die Ortschaft D, die an der geraden Straße durch A$(0 | 35)$ und B$(35|0)$ liegt, wird eine Umfahrungsstraße gebaut. Diese soll in A und B tangential in die alte Straße münden und durch den Punkt C$(\frac{35}{2}|\frac{35}{4})$ gehen.

Wir haben 3 Punkte und 2 Steigungen: Grad 4

$f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$

A$(0 | 35)$:

$f(0)=e$

1.)   $e=35$

B$(35 |0)$:

$f(35)=35^4a+35^3b+35^2c+35d+35$

$35^4a+35^3b+35^2c+35d+35=0 |:35$:

2.) $35^3a+35^2b+35c+d+1=0$

C$(\frac{35}{2}|\frac{35}{4})$ :

$f(\frac{35}{2})=(\frac{35}{2})^4a+(\frac{35}{2})^3b+(\frac{35}{2})^2c+(\frac{35}{2})d+35$

$(\frac{35}{2})^4a+(\frac{35}{2})^3b+(\frac{35}{2})^2c+(\frac{35}{2})d+35=\frac{35}{4}$

$(\frac{35^4}{2^4})a+(\frac{35^3}{2^3})b+(\frac{35^2}{2^2})c+(\frac{35}{2})d+35=\frac{35}{4}|:35$

$(\frac{35^3}{2^4})a+(\frac{35^2}{2^3})b+(\frac{35}{2^2})c+(\frac{1}{2})d+1=\frac{1}{4}|\cdot 4$

3.)  $(\frac{35^3}{2^2})a+(\frac{35^2}{2})b+35c+2d=0$

Steigungen verarbeiten:

$f'(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d$

Die Ortsstraße hat die Steigung $m=-1$

A$(0 | ...)$

$f'(0)=d$

4.)  $d=-1$

B$(35 | ...)$

$f'(35)=4a\cdot 35^3+3b\cdot 35^2+2c\cdot 35-1$

$4a\cdot 35^3+3b\cdot 35^2+2c\cdot 35-1=-1$

-------------------------------

5.) $4a\cdot 35^3+3b\cdot 35^2+2c\cdot 35=0$

2.) $35^3a+35^2b+35c=0|:35$

2.) $35^2a+35b+c=0$

3.) $(\frac{35^3}{2^2})a+(\frac{35^2}{2})b+35c-2=0$

Nun a , b ,c bestimmen

$f(x)=...$

Comments

Hast du $35d:35=35$ gerechnet?

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Ich habe $\frac{35}{2}d$  durch 35 geteilt.

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$35^4a+35^3b+35^2c+35d+35=0 |:35$:
$35^3a+35^2b+35c+35+1=0$

Es geht darum ...

Interessant ist, dass du das Einsetzen der Werte haarklein vorrechnest, am Ende dann aber nur noch ein

Nun a , b ,c bestimmen

raushaust.

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Etwas muss ja der eventuell Fragende ja auch noch tun.

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Ich habe $\frac{35}{2}d$  durch 35 geteilt.

Woher kommt dann

$35^3a+35^2b+35c+35+1=0$

?

Answer 2

Für Steckbriefaufgaben nutze https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm zur Hilfe und Selbstkontrolle

Eigenschaften

f(0)=35
f'(0)=-1
f(35)=0
f'(35)=-1
f(17.5)=8.75

Errechnete Funktion

f(x) = -4/42875·x⁴ + 8/1225·x³ - 4/35·x² - x + 35

Der Koeffizient vor x³ ist also

8/1225 ≈ 0.006531

Runden auf 2 Stellen nach dem Komma schaffst du, denke ich alleine, oder?

Skizze

Plotlux öffnen

f₁(x) = -4/42875x⁴+8/1225x³-4/35x²-x+35f₂(x) = -x+35P(17,5|8,75)Zoom: x(0…35) y(0…35)