Problem mit Funktionenschar / Term vereinfachen

Question

ich hoffe ihr könnt mir helfen. Könnte mir vielleicht jemand step-by-step erklären, wie ich auf die beiden y-Werte der Extrempunkte komme? Also in f(x) einsetzen ist klar, aber ich komm partout nicht auf die unten angegebene gekürzte Form.

\( f(x)=\frac{x^{3}}{a^{2}}-a x \quad \) mit \( x \in R \) und \( a \in R^{*}+ \)

Extremstellen bei \( x=\pm \sqrt{\frac{a^{3}}{3}} \)

Hochpunkt: \( \left(-\sqrt{\frac{a^{3}}{3}} ; \frac{2}{3} a \sqrt{\frac{a^{3}}{3}}\right) \vee \) Tiefpunkt: \( \left(\sqrt{\frac{a^{3}}{3}} ;-\frac{2}{3} a \sqrt{\frac{a^{3}}{3}}\right) \)

Answer 1

Einsetzen von \(x = \sqrt { \frac { { a }^{ 3 } }{ 3 }  }\) unter Verwendung der Potenzschreibweise der Wurzel ergibt:$$\frac { { \left( { \left( \frac { { a }^{ 3 } }{ 3 }  \right)  }^{ \frac { 1 }{ 2 }  } \right)  }^{ 3 } }{ { a }^{ 2 } } -a{ \left( \frac { { a }^{ 3 } }{ 3 }  \right)  }^{ \frac { 1 }{ 2 }  }$$Auspotenzieren ergibt:$$=\frac { { a }^{ \frac { 9 }{ 2 }  }*{ a }^{ -2 } }{ { 3 }^{ \frac { 3 }{ 2 }  } } -{ \frac { { a }^{ \frac { 5 }{ 2 }  } }{ { 3 }^{ \frac { 1 }{ 2 }  } }  }$$$$=\frac { { a }^{ \frac { 5 }{ 2 }  } }{ { 3 }^{ \frac { 3 }{ 2 }  } } -\frac { { a }^{ \frac { 5 }{ 2 }  } }{ { 3 }^{ \frac { 1 }{ 2 }  } }$$Erweitern des rechten Bruches mit 3:$$=\frac { { a }^{ \frac { 5 }{ 2 }  } }{ { 3 }^{ \frac { 3 }{ 2 }  } } -\frac { { 3*a }^{ \frac { 5 }{ 2 }  } }{ { 3 }^{ \frac { 3 }{ 2 }  } }$$Ausklammern von a:$$=a\left( \frac { { a }^{ \frac { 3 }{ 2 }  }-{ 3*3 }^{ \frac { 3 }{ 2 }  } }{ { 3 }^{ \frac { 3 }{ 2 }  } }  \right)$$Ausklammern von \(\frac { { a }^{ \frac { 3 }{ 2 }  } }{ { 3 }^{ \frac { 3 }{ 2 }  } }\) und Zerlegung des Nenners:$$=a\frac { { a }^{ \frac { 3 }{ 2 }  } }{ 3*{ 3 }^{ \frac { 1 }{ 2 }  } } (1-3)$$Zusammenfassen und Umformung des Zählers:$$=-\frac { 2 }{ 3 } a\frac { { { \left( { a }^{ 3 } \right)  }^{ \frac { 1 }{ 2 }  } } }{ { 3 }^{ \frac { 1 }{ 2 }  } }$$Darstellung in Wurzelschreibweise:$$=-\frac { 2 }{ 3 } a\sqrt { \frac { { a }^{ 3 } }{ 3 }  }$$So ähnlich geht man bei \(x =-\sqrt { \frac { { a }^{ 3 } }{ 3 }  }\) vor.

Answer 2

f ( x ) = x^3 /a^2 - a*x
f ´( x ) = 3*x^2/a^2 - a
l Extrempunkt  f ´( x ) = 0
3*x^2/a^2 - a = 0
3*x^2/a^2 = a
3x^2 = a^3
x^2 = a^3/3
x = ± √ ( a^3/3 )

Einen Funktionswert beispielhaft mal ausgerechnet :

f ( √ ( a^3/3 ) ) = ( √ ( a^3/3 ) ^3 / a^2 - a * √ ( a^3/3 )
l √ ( a^3/3 ) ^3 = √ ( a^3/3 ) ^2 * √ ( a^3/3 ) = a^3/3  * √ ( a^3/3 )
f ( √ ( a^3/3 ) ) = ( a^3/3  * √ ( a^3/3 ) ) / a^2 - a * √ ( a^3/3 )
f ( √ ( a^3/3 ) ) = √ ( a^3/3 ) * ( a^3/3   / a^2 - a  )
f ( √ ( a^3/3 ) ) = √ ( a^3/3 ) * ( a /3  - a  )
f ( √ ( a^3/3 ) ) = √ ( a^3/3 ) * ( -2/3 * a)

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mfg Georg