Zeigen Sie, dass die Abbildung injektiv ist.

Question

1. Zeigen Sie, dass die Abbildung f : K → M₂(K) definiert durch

f(x)=

1	x
0	1

injektiv ist.

2. Zeigen Sie,dass für alle x, y ∈ K giltf (x + y) = f (x) f (y).

 

Würde mich über jede Hilfe freuen. Besonders die Zweite bereitet mir kopfzerbrechen.

Answer 1

1. Ich führe den Beweis per Annahme des Gegenteils.

f heißt injektiv, wenn

∀(x₁, x₂) ∈K²: f(x₁)=f(x₂) ⇒ x₁=x₂

Das Gegenteil davon ist:

∃(x₁,x₂) ∈K²: f(x₁)=f(x₂) aber  x₁≠x₂

Wenn also f(x₁) = f(x₂) gilt, dann muss die Differenz die Nullmatrix sein.

$$f \left( x _ { 1 } \right) - f \left( x _ { 2 } \right) = \left( \begin{array} { c } { 1 } & { x _ { 1 } } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) - \left( \begin{array} { c } { 1 } & { x _ { 2 } } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { x _ { 1 } - x _ { 2 } } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right)$$

Es gilt also

x₁-x₂ = 0

⇔ x₁ = x₂

was einen Widerspruch zur Annahme darstellt, dass x₁ und x₂ verschieden sind.

Also ist f injektiv.

2.)
Hier kann man einfach den Beweis durch Nachrechnen führen:

$$f ( x ) f ( y ) = \left( \begin{array} { l l } 1 & x \\ 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } 1 & y \\ 0 & 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { 1 \cdot 1 + x \cdot 0 } & { 1 \cdot y + x \cdot 1 } \\ { 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 } & { 0 \cdot y + 1 \cdot 1 } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { x + y } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) = f ( x + y )$$