Existieren folgende Grenzwerte? lim (x2 -x +1); lim x / |x| ; sin(x) ; sin(x) /x...

Question

Aufgaben:

Untersuchen Sie, ob folgende Grenzwerte existieren, und bestimmen Sie sie gegebenenfalls.

(a) $\lim \limits_{x \rightarrow 3}\left(x^{2}-x+1\right)$

(b) $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x}{|x|}$

(c) $\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \sin (x)$

(d) $\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{\sin (x)}{x}$

(e) $\lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-1}{x^{2}+2 x-3}$

(f) $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x}-1}{x}$

Meine Ergebnisvorschläge:

(a) Grenzwert ist 7 , habe einfach 3 in die Fkt eingesetzt.

(b) Nunja, hier wird es schon schwierig. Für negatives x verläuft sie bei -1 , bei positivem x bei 1. Demnach ist bei 0 eine Definitionslücke... Also ich würde darauf spekulieren, dass es keinen Grenzwert gibt.

(c) Gut, Sinus verläuft zwischen 1 und -1 ... Der Grenzwert für oo gibt es also nicht, weil Sinus immer weiter oszilliert.

(d) Sin immer zwischen 1 und -1. Wenn x gegen oo wächst, dann wird der Wert immer kleiner . Die Funktion ist auf jeden Fall alternieren, weil Sin sich zwischen 1 und -1 abwechselt. Der Grenzwert ist schließlich 0.

(e) Nunja, wir teilen wieder 0/0 , wenn man für x=1 einsetzt. Ich habe keine Ahnung, wie ich weiter mache...

(f) Hier genau das selbe. Keine Ahnung...

Bitte um Hilfe :-)

Answer 1

(a) - (d) tönen vernünftig.

Bei e) kannst du Zähler und Nenner faktorisieren. 3. Binom und Vieta verwenden oder sonstwie die Nullstellen bestimmen.

Voraussichtlich kannst du dann (x-1) rauskürzen. Dann würde der Lim. existieren, wenn der Funktionswert entsprechend definiert würde.

((x+1)(x-1)) / ((x+3)(x-1)) = (x+1)/(x+3) und nun x = 1 einsetzen: → 2/4 = 1/2

Möglicherweise hilft es bei (f) Wenn du oben und unten mit √(x+1) + 1 multiplizierst. Oben 3. Binom.

...= ((x+1) - 1) / (x(√x+1) + 1)) 

= x / (x(√x+1) + 1)) 

= 1/ (√x+1) + 1) Jetzt Grenzwert x gegen 0

--------> 1/2.

Ohne Gewähr.

Comments

ah ok, das mit dem erweitern um auf die binomische Formeln zu kommen ist nett. Das probiere ich mal. Danke dir auf jeden Fall :)