umkehrfunktion von x+(-1)x bestimmen

Question

kann jemand mir bei der Umkehrsfunktion dieser Frage helfen? $$f(x) = x + (-1)^{x}, f^{-1}(x)=???$$

Comments

Algebraisch ist das nicht nach x auflösbar. Ist das die genaue Aufgabenstellung?

---

Wenn wir nicht nach ℂ wollen, ist f^-1 =f .

---

(-1)^x ist in R für nicht ganzzahlige x nicht definiert.

Answer 1

Aloha :)

Wenn die Funktion von den ganzen Zahlen in die ganzen Zahlen abbildet,$$f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z},\,x\mapsto x+(-1)^x$$ist sie bijektiv und ihre eigene Umkehrfunktion:$$f^{-1}:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z},\,x\mapsto x+(-1)^x$$Das sieht man sehr schön an einer kleinen Wertetabelle:

x	f(x)
-2	-1
-1	-2
0	1
1	0
2	3
3	2
4	5
5	4
6	7
7	6

$x$ und $f(x)$ verlaufen paarweise "über Kreuz".

Comments

Und wie würde dann die Umkehrfunktion aussehen? Trotz Bijektivität scheint es als wäre die Umkehrfunktion unmöglich zu sein.

---

Die Umkehrfunktion $f^{-1}$ habe ich doch schon angegeben, es ist die Funktion selbst, also $f^{-1}=f$.

Beispiel:$$x=1\quad\Rightarrow\quad f(x)=0$$$$x=0\quad\Rightarrow\quad f(x)=1$$

---

ach ja, richtig. Ich habe eigentlich noch eine Schwierigkeit bei dieser Aufgabe und ich hatte eigentlich vom Anfang zusammen mit der Aufgabe die Frage stellen sollen.

also mit $$g : \mathbb{N_0} → \mathbb{N_0}, g(x) := max {(0, x - 5)}$$ und definiert durch $$max{(m, n)} := (m, falls ( m ≥ n ) und n, sonst)$$

ist g o f =f o g?

---

Ich wähle mal $x=0$ als Beispiel, um die Behauptung $f\circ g=g\circ f$ zu prüfen:$$(f\circ g)(0)=f(g(0))=f(\text{max}(0,0-5))=f(0)=0+(-1)^0=1$$$$(g\circ f)(0)=g(f(0))=g(0+(-1)^0)=g(1)=\text{max}(0,1-5)=0$$Die Behauptung gilt also nicht, sie scheitert schon beim kleinst möglichen Wert $0\in\mathbb{N_0}$.